(5,0) Considere a relação
. Mostre que
em que
Passo 1
O enunciado define a relação de equivalência “
” em
. As classes de equivalência são
O objetivo é mostrar que estas três classes cobrem todo
e que qualquer duas delas não têm elementos em comum.
Passo 2
Para ver que toda
pertence a alguma das classes, usamos o Teorema da Divisão Euclidiana: para todo
existem únicos
e
tais que
Daí fica claro que
, ou seja,
. Logo
Passo 3
Agora mostremos que duas classes distintas não se intersectam. Seja
com
. Se existisse
, teríamos
logo
. Mas como
e
são
ou
, a única forma de
ser múltiplo de 3 é
, contradizendo
. Portanto
isto é,