(5,0) Considere a relação x equiv y(bmod cdot 3). Mostre que
Z=[0] cup[1] cup[2]
em que
[0] cap[1]=[1] cap[2]=[0] cap[2]=emptyset

Passo 1

O enunciado define a relação de equivalência “ xequiv ypmod3” em Z. As classes de equivalência são
[0]=ninZmid nequiv0pmod3, [1]=ninZmid nequiv1pmod3, [2]=ninZmid nequiv2pmod3
O objetivo é mostrar que estas três classes cobrem todo Z e que qualquer duas delas não têm elementos em comum.

Passo 2

Para ver que toda ninZ pertence a alguma das classes, usamos o Teorema da Divisão Euclidiana: para todo ninZ existem únicos qinZ e rin0,1,2 tais que
n=3q+r
Daí fica claro que nequiv rpmod3, ou seja, nin[r]. Logo
Z=[0]cup[1]cup[2]

Passo 3

Agora mostremos que duas classes distintas não se intersectam. Seja i,jin0,1,2 com ineq j. Se existisse nin[i]cap[j], teríamos
nequiv ipmod3 e nequiv jpmod3,
logo iequiv jpmod3. Mas como i e j são 0,1 ou 2, a única forma de i-j ser múltiplo de 3 é i=j, contradizendo ineq j. Portanto
[i]cap[j]=emptyset para ineq j,
isto é,
[0]cap[1]=[1]cap[2]=[0]cap[2]=emptyset

Resposta

Z=[0]cup[1]cup[2] e
[0]cap[1]=[1]cap[2]=[0]cap[2]=emptyset.

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