(2,0) Seja A=1,2,3,4,5. Classifique as relações, R subset A^2, abaixo, (isto é, conclua se são reflexivas, antirreflexivas, simétricas, antissimétricas e/ou transitivas)
R=(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,5),

Passo 1

O enunciado dá o conjunto A=1,2,3,4,5 e a relação
R = (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,5)
(que é equivalente a (1,2),(1,3),(1,4),(1,5)). Queremos classificar R quanto a ser reflexiva, antirreflexiva, simétrica, antissimétrica e transitiva.

Passo 2

Verificamos reflexividade e antirreflexividade.
Para ser reflexiva, precisaria ter (x,x)in R para todo xin A. Aqui não há pares (1,1),(2,2),dots, logo não é reflexiva.
Para ser antirreflexiva (irreflexiva), basta não ter nenhum (x,x). Como realmente nenhum (x,x) está em R, concluímos que R é antirreflexiva.

Passo 3

Verificamos simetria e antissimetria.
– Simétrica exigiria: se (x,y)in R então (y,x)in R. Mas, por exemplo, (1,2)in R e (2,1)notin R. Logo não é simétrica.
– Antissimétrica exige que, sempre que (x,y)in R e (y,x)in R, então x=y. Aqui nunca ocorre simultaneamente (x,y) e (y,x) para xneq y. Não há contraexemplo, então R é antissimétrica.

Passo 4

Verificamos transitividade.
Para ser transitiva, toda vez que (x,y)in R e (y,z)in R, deve ter (x,z)in R. Em R todos os pares têm primeira componente 1. Não existe nenhum par cujo primeiro elemento seja 2, 3, 4 ou 5, logo nunca temos um “segundo salto” (y,z). Isso torna a condição vacuamente verdadeira, e portanto R é transitiva.

Resposta

A relação R é antirreflexiva, antissimétrica e transitiva.

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