(2,0) Seja
. Classifique as relações,
, abaixo, (isto é, conclua se são reflexivas, antirreflexivas, simétricas, antissimétricas e/ou transitivas)
,
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e a relação
(que é equivalente a
). Queremos classificar
quanto a ser reflexiva, antirreflexiva, simétrica, antissimétrica e transitiva.
Passo 2
Verificamos reflexividade e antirreflexividade.
Para ser reflexiva, precisaria ter para todo
. Aqui não há pares
, logo não é reflexiva.
Para ser antirreflexiva (irreflexiva), basta não ter nenhum . Como realmente nenhum
está em
, concluímos que
é antirreflexiva.
Para ser reflexiva, precisaria ter
Para ser antirreflexiva (irreflexiva), basta não ter nenhum
Passo 3
Verificamos simetria e antissimetria.
– Simétrica exigiria: se então
. Mas, por exemplo,
e
. Logo não é simétrica.
– Antissimétrica exige que, sempre que e
, então
. Aqui nunca ocorre simultaneamente
e
para
. Não há contraexemplo, então
é antissimétrica.
– Simétrica exigiria: se
– Antissimétrica exige que, sempre que
Passo 4
Verificamos transitividade.
Para ser transitiva, toda vez que e
, deve ter
. Em
todos os pares têm primeira componente
. Não existe nenhum par cujo primeiro elemento seja 2, 3, 4 ou 5, logo nunca temos um “segundo salto”
. Isso torna a condição vacuamente verdadeira, e portanto
é transitiva.
Para ser transitiva, toda vez que
Resposta
A relação
é antirreflexiva, antissimétrica e transitiva.