(2,0) Seja A=1,2,3,4,5. Classifique as relações, R subset A^2, abaixo, (isto é, conclua se são reflexivas, antirreflexivas, simétricas, antissimétricas e/ou transitivas)
R=1,2,3,4,5 times1,2,3,4,5.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto A=1,2,3,4,5 e a relação
R = Atimes A = , (a,b)mid ain A,;bin A
Queremos verificar se R é reflexiva, antirreflexiva (irreflexiva), simétrica, antissimétrica e/ou transitiva.

Passo 2

Verificar reflexividade.
Uma relação é reflexiva se
forall ain A,;(a,a)in R
Como R contém todos os pares (a,b) com a,bin A, em particular todos os (a,a) estão em R.
Logo, R é reflexiva.

Passo 3

Verificar antirreflexividade (irreflexividade).
Uma relação é irreflexiva se
forall ain A,;(a,a)notin R
Mas aqui (a,a)in R para todo a. Portanto R não é irreflexiva.

Passo 4

Verificar simetria.
Uma relação é simétrica se
forall a,bin A,;(a,b)in Rimplies(b,a)in R
Como R é o produto cartesiano completo, sempre que (a,b)in R também (b,a)in R.
Logo, R é simétrica.

Passo 5

Verificar antissimetria.
Uma relação é antissimétrica se
forall a,bin A,;(a,b)in R wed>= (b,a)in Rimplies a=b
Aqui, por exemplo, (1,2)in R e (2,1)in R mas 1neq2. Logo, falha a condição de antissimetria.
Portanto, R não é antissimétrica.

Passo 6

Verificar transitividade.
Uma relação é transitiva se
forall a,b,cin A,;(a,b)in R wed>= (b,c)in Rimplies(a,c)in R
Como R tem todo par possível, sempre que (a,b) e (b,c) estão em R, também (a,c) está.
Logo, R é transitiva.

Resposta

Reflexiva: sim
Antirreflexiva: não
Simétrica: sim
Antissimétrica: não
Transitiva: sim

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