(2,0) Seja
. Classifique as relações,
, abaixo, (isto é, conclua se são reflexivas, antirreflexivas, simétricas, antissimétricas e/ou transitivas)
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e a relação
Queremos verificar se
é reflexiva, antirreflexiva (irreflexiva), simétrica, antissimétrica e/ou transitiva.
Passo 2
Verificar reflexividade.
Uma relação é reflexiva se
Uma relação é reflexiva se
Como
contém todos os pares
com
, em particular todos os
estão em
.
Logo, é reflexiva.
Logo,
Passo 3
Verificar antirreflexividade (irreflexividade).
Uma relação é irreflexiva se
Uma relação é irreflexiva se
Mas aqui
para todo
. Portanto
não é irreflexiva.
Passo 4
Verificar simetria.
Uma relação é simétrica se
Uma relação é simétrica se
Como
é o produto cartesiano completo, sempre que
também
.
Logo, é simétrica.
Logo,
Passo 5
Verificar antissimetria.
Uma relação é antissimétrica se
Uma relação é antissimétrica se
Aqui, por exemplo,
e
mas
. Logo, falha a condição de antissimetria.
Portanto, não é antissimétrica.
Portanto,
Passo 6
Verificar transitividade.
Uma relação é transitiva se
Uma relação é transitiva se
Como
tem todo par possível, sempre que
e
estão em
, também
está.
Logo, é transitiva.
Logo,
Resposta
Reflexiva: sim
Antirreflexiva: não
Simétrica: sim
Antissimétrica: não
Transitiva: sim
Antirreflexiva: não
Simétrica: sim
Antissimétrica: não
Transitiva: sim