(3,0) Considere a relação R sobre X, em que X subset P(Z) é o subconjunto dos conjuntos finitos de números inteiro, dada por
A R B Leftrightarrow|A|=|B|, forall A, B in X
Prove que tal relação é de equivalência.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
XsubsetP(Z) como o conjunto de todos os subconjuntos finitos de Z, e a relação R sobre X por
A,R,B ;Long<=ftrightarrow; |A| = |B|,
onde |A| denota o número de elementos de A. Para mostrar que R é uma relação de equivalência, precisamos verificar as três propriedades: refletividade, simetria e transitividade.

Passo 2

Verificamos a refletividade, ou seja, que todo AinX satisfaz A,R,A. Como para qualquer conjunto A vale trivialmente
|A| = |A|,
segue que A,R,A. Logo, R é reflexiva.

Passo 3

Verificamos a simetria, ou seja, se A,R,B então B,R,A. Suponha A,R,B; então
|A| = |B|
Mas a igualdade de inteiros é simétrica, isto é, de |A|=|B| segue |B|=|A|. Logo B,R,A, e R é simétrica.

Passo 4

Verificamos a transitividade, ou seja, se A,R,B e B,R,C então A,R,C. Suponha A,R,B e B,R,C; então
|A| = |B| e |B| = |C|
Pela transitividade da igualdade de inteiros, conclui-se |A| = |C|, logo A,R,C. Assim, R é transitiva.

Resposta

A relação R é reflexiva, simétrica e transitiva, portanto é uma relação de equivalência.

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