(3,0) Considere a relação
sobre
, em que
é o subconjunto dos conjuntos finitos de números inteiro, dada por
Prove que tal relação é de equivalência.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
como o conjunto de todos os subconjuntos finitos de
, e a relação
sobre
por
onde
denota o número de elementos de
. Para mostrar que
é uma relação de equivalência, precisamos verificar as três propriedades: refletividade, simetria e transitividade.
Passo 2
Verificamos a refletividade, ou seja, que todo
satisfaz
. Como para qualquer conjunto
vale trivialmente
segue que
. Logo,
é reflexiva.
Passo 3
Verificamos a simetria, ou seja, se
então
. Suponha
; então
Mas a igualdade de inteiros é simétrica, isto é, de
segue
. Logo
, e
é simétrica.
Passo 4
Verificamos a transitividade, ou seja, se
e
então
. Suponha
e
; então
Pela transitividade da igualdade de inteiros, conclui-se
, logo
. Assim,
é transitiva.
Resposta
A relação
é reflexiva, simétrica e transitiva, portanto é uma relação de equivalência.