Considere a relações entre números naturais definidas por
quando
.
Quais destas relações são relações de equivalência e quais não são? Por quê?
Quais destas relações são relações de equivalência e quais não são? Por quê?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma relação definida entre números naturais onde diz que
se e somente se o máximo divisor comum (
) de
e
for maior que 1. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa relação é uma relação de equivalência ou não. Para isso, vamos precisar verificar três propriedades fundamentais: reflexividade, simetria e transitividade.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a relação é reflexiva. Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para todo
, deve valer que
.
Vamos calcular o
:
Para que a relação seja reflexiva, precisamos que
. Isso acontece quando
. Mas e quando
? Nesse caso:
Então, nem todos os elementos estão relacionados consigo mesmos. Portanto, a relação não é reflexiva.
Passo 3
Agora, vamos verificar a simetria da relação. Uma relação é simétrica se, sempre que
, então
.
No nosso caso,
significa que
. Sabemos que o
é comutativo, ou seja:
Portanto, se
, automaticamente
. Assim, a relação é simétrica.
Passo 4
Por último, vamos verificar a transitividade. Uma relação é transitiva se, sempre que
e
, então
.
Vamos supor que:
Isso significa que
e
possuem pelo menos um divisor comum maior que 1, e o mesmo vale para
e
. Mas isso garante que
e
também tenham um divisor comum maior que 1? Nem sempre! Por exemplo:
Aqui:
Entretanto:
Então, mesmo que
e
, pode não acontecer que
. Portanto, a relação não é transitiva.
Resposta
A rela�o definida por
quando
não é uma relação de equivalência porque, embora seja simétrica, ela não é reflexiva e não é transitiva.