Considere a relações entre números naturais definidas por
x sim y quando mdc(x, y)>1.
Quais destas relações são relações de equivalência e quais não são? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma relação definida entre números naturais onde diz que se e somente se o máximo divisor comum ( ) de e for maior que 1. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa relação é uma relação de equivalência ou não. Para isso, vamos precisar verificar três propriedades fundamentais: reflexividade, simetria e transitividade.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a relação é reflexiva. Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para todo mdc(x, x) = x , deve valer que mdc(1, 1) = 1 not> 1 .
Vamos calcular o :
Para que a relação seja reflexiva, precisamos que . Isso acontece quando . Mas e quando ? Nesse caso:
Então, nem todos os elementos estão relacionados consigo mesmos. Portanto, a relação não é reflexiva.

Passo 3

Agora, vamos verificar a simetria da relação. Uma relação é simétrica se, sempre que mdc(x, y) = mdc(y, x) , então .
No nosso caso, significa que . Sabemos que o é comutativo, ou seja:
Portanto, se , automaticamente . Assim, a relação é simétrica.

Passo 4

Por último, vamos verificar a transitividade. Uma relação é transitiva se, sempre que mdc(x, y) > 1 e mdc(y, z) > 1 e x = 6, y = 15, z = 35 , então mdc(6, 15) = 3 > 1 e mdc(15, 35) = 5 > 1 .
Vamos supor que:
mdc(6, 35) = 1 not> 1
Isso significa que e possuem pelo menos um divisor comum maior que 1, e o mesmo vale para e . Mas isso garante que e também tenham um divisor comum maior que 1? Nem sempre! Por exemplo:
Aqui:
Entretanto:
Então, mesmo que e , pode não acontecer que . Portanto, a relação não é transitiva.

Resposta

A relaç��o definida por quando não é uma relação de equivalência porque, embora seja simétrica, ela não é reflexiva e não é transitiva.

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