Considere a relações entre números naturais definidas por
quando
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Quais destas relações são relações de equivalência e quais não são? Por quê?
Quais destas relações são relações de equivalência e quais não são? Por quê?
Passo 1
O enunciado define a relação ~ em ℕ por “x~y se e somente se mdc(x,y)=1”. O tema é “relação de equivalência” e vamos precisar checar as três propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva.
Passo 2
Verificamos a reflexividade: para todo x∈ℕ devemos ter x~x, ou seja, mdc(x,x)=1. Mas mdc(x,x)=x, que só é igual a 1 quando x=1. Logo a relação falha para qualquer x>1 e não é reflexiva.
Passo 3
Verificamos a simetria: se x~y então mdc(x,y)=1. Mas sabemos que mdc(x,y)=mdc(y,x), logo mdc(y,x)=1; isto é, y~x. A relação é, portanto, simétrica.
Passo 4
Verificamos a transitividade: suponha x~y (mdc(x,y)=1) e y~z (mdc(y,z)=1). Não implica mdc(x,z)=1: por exemplo, x=2, y=3, z=4 têm mdc(2,3)=1 e mdc(3,4)=1, mas mdc(2,4)=2≠1. Assim, a relação não é transitiva.
Passo 5
Como falha reflexividade e transitividade, a relação não é de equivalência. Ela só satisfaz a propriedade de simetria.
Resposta
A relação “mdc(x,y)=1” não é de equivalência, pois não é reflexiva nem transitiva (embora seja simétrica).