Considere a relação definida por
quando existe uma bijeção
.
Quais são as classes de equivalência determinadas por esta relação quando aplicada a
para
.
Quais são as classes de equivalência determinadas por esta relação quando aplicada a
Passo 1
Então, a gente tem o conjunto
e está olhando para
, que é o conjunto de todas as partes de
(ou seja, todos os subconjuntos de
). A relação
que estamos usando diz que dois subconjuntos
e
são equivalentes se existe uma bijeção
. Uma bijeção é uma função que é tanto injetora (sem elementos repetidos) quanto sobrejetora (cobre todo o conjunto de chegada). Vamos precisar entender o que é uma bijeção e como aplicá-la para encontrar as classes de equivalência.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todos os subconjuntos de
. Como
tem 3 elementos,
terá
subconjuntos, que são:
-
(o conjunto vazio) -
-
-
-
-
-
-
Passo 3
Agora, vamos lembrar que uma bijeção só existe entre conjuntos que têm o mesmo número de elementos. Isso porque, se os conjuntos têm tamanhos diferentes, não dá para fazer uma correspondência um a um perfeita entre eles. Então, para formar as classes de equivalência, vamos agrupar os subconjuntos de acordo com o número de elementos que eles têm.
Passo 4
Vamos identificar o tamanho de cada subconjunto:
- Tamanho 0:
- Tamanho 1:
, , - Tamanho 2:
, , - Tamanho 3:
Passo 5
Com base nisso, as classes de equivalência são formadas por todos os subconjuntos que têm o mesmo tamanho. Assim:
- Classe das classes de tamanho 0:
- Classe das classes de tamanho 1:
- Classe das classes de tamanho 2:
- Classe das classes de tamanho 3:
Resposta
As classes de equivalência são: