Considere a relação definida por A sim B quando existe uma bijeção f: A B.
Quais são as classes de equivalência determinadas por esta relação quando aplicada a P(X) para X=1,2,3.

Passo 1

Então, a gente tem o conjunto X = 1, 2, 3 e está olhando para P(X), que é o conjunto de todas as partes de X (ou seja, todos os subconjuntos de X). A relação sim que estamos usando diz que dois subconjuntos A e B são equivalentes se existe uma bijeção f: A B. Uma bijeção é uma função que é tanto injetora (sem elementos repetidos) quanto sobrejetora (cobre todo o conjunto de chegada). Vamos precisar entender o que é uma bijeção e como aplicá-la para encontrar as classes de equivalência.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todos os subconjuntos de X. Como X tem 3 elementos, P(X) terá 2^3 = 8 subconjuntos, que são:
  • emptyset (o conjunto vazio)
  • 1
  • 2
  • 3
  • 1, 2
  • 1, 3
  • 2, 3
  • 1, 2, 3

Passo 3

Agora, vamos lembrar que uma bijeção só existe entre conjuntos que têm o mesmo número de elementos. Isso porque, se os conjuntos têm tamanhos diferentes, não dá para fazer uma correspondência um a um perfeita entre eles. Então, para formar as classes de equivalência, vamos agrupar os subconjuntos de acordo com o número de elementos que eles têm.

Passo 4

Vamos identificar o tamanho de cada subconjunto:
  • Tamanho 0: emptyset
  • Tamanho 1: 1, 2, 3
  • Tamanho 2: 1, 2, 1, 3, 2, 3
  • Tamanho 3: 1, 2, 3

Passo 5

Com base nisso, as classes de equivalência são formadas por todos os subconjuntos que têm o mesmo tamanho. Assim:
  • Classe das classes de tamanho 0: emptyset
  • Classe das classes de tamanho 1: 1, 2, 3
  • Classe das classes de tamanho 2: 1, 2, 1, 3, 2, 3
  • Classe das classes de tamanho 3: 1, 2, 3

Resposta

As classes de equivalência são:
  1. emptyset
  2. 1, 2, 3
  3. 1, 2, 1, 3, 2, 3
  4. 1, 2, 3

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