Mostre que Z é um anel comutativo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto dos inteiros $+$ e $*$ forma um anel comutativo. Vamos usar a definição de anel: um conjunto com duas operações (adição e multiplicação) que satisfaz certos axiomas.

Passo 2

Primeiro mostramos que $\mathbb{Z},+$ é um grupo abeliano. Precisamos verificar:
  • Fechamento: dados \a,b\in\mathbb{Z}, a+b \in\mathbb{Z} (propriedade básica de inteiros).
  • Associatividade: $a+b)+c = a+(b+c)$, que vale por definição da adição em \mathbb{Z}.
  • Elemento neutro: existe \;0\in\mathbb{Z} tal que \;a+0 = a = 0+a\.
  • Inverso: para cada \;a\in\mathbb{Z} existe \;-a\in\mathbb{Z} com \;a+(-a)=0\.
  • Comutatividade: \;a+b = b+a\, válida na aritmética dos inteiros.

Passo 3

Agora verificamos propriedades da multiplicação em \(\mathbb{Z},*)\:
  • Fechamento: se \;a,b\in\mathbb{Z}, ab\in\mathbb{Z}.
  • Associatividade: $ab)c = a(bc)$, vale por definição de produto de inteiros.
  • Elemento neutro: existe \;1\in\mathbb{Z} tal que \;1\cdot a = a = a\cdot1\.
  • Comutatividade: \;ab = ba\ para inteiros.

Passo 4

Por fim, conferimos as leis distributivas:
  • Distributiva à esquerda: \;a(b+c) = ab + ac\,
  • Distributiva à direita: \;(a+b)c = ac + bc\.
    Essas igualdades vêm diretamente das propriedades de distributividade da multiplicação sobre a adição em \mathbb{Z}.

Passo 5

Como todas as propriedades têm validade na aritmética dos inteiros, concluímos que \mathbb{Z}\ com adição e multiplicação satisfaz todos os axiomas de um anel comutativo.

Resposta

\mathbb{Z} \text{ é um anel comutativo}.

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