Considere um reservatório na forma de um cilindro circular reto. Determine o erro na medição de seu volume, causado pelo erro de 0,001 m na medição do raio r e, de 0,002m na medição da altura h, quando r=3 m e h=10 m. Compare os resultados obtidos por:
a) Diferencial Total
b) Cálculo do Incremento

Passo 1

O enunciado pede o erro no volume de um cilindro de volume V=pi r^2 h quando há erros de medição dr=0.001, m em r e dh=0.002, m em h. Vamos usar teoria de diferenciais para o item (a) e calcular o incremento real para o item (b).

Passo 2

Para o diferencial total, lembramos que se V=V(r,h), então
dV=partial Vpartial r,dr+partial Vpartial h,dh

Passo 3

Calculando as derivadas parciais de V=pi r^2h:
partial Vpartial r=2pi rh, partial Vpartial h=pi r^2
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dV=2pi rh,dr+pi r^2,dh

Passo 4

Substituindo os valores numéricos
r=3, h=10, dr=0.001, dh=0.002,
obtém-se
dV=2picdot3cdot10cdot0.001+picdot3^2cdot0.002=0.078piapprox0.2450, m^3

Passo 5

Para o incremento real, usamos
De
Expandindo:
De

Passo 6

Substituindo numericamente:
2rh,dr=0.06, h,dr^2=1times10^-5, r^2,dh=0.018,2r,dr,dh=1.2times10^-5, dr^2,dh=2times10^-9,
De

Passo 7

Comparando, o diferencial total dá 0.078piapprox0.2450, m^3 e o incremento real dá 0.078022piapprox0.2453, m^3, com diferença de cerca de 6.9times10^-5, m^3.

Resposta

Pelo diferencial total: dV=0.078piapprox0.2450, m^3. Pelo incremento: De.

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