Esboce a região de integração em cada caso
a) integral1^2 integral0^2 x x y^3 d y d x
b) integral1^2 integral1x^x^2 d y d x
c) Esboce a região do espaço, delimitado pelo parabolóide x^2+y^2+z=12 e o palno z=8

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as regiões de integração nos itens (a) e (b) no plano xy e, no item ©, o sólido no espaço delimitado pelas superfícies dadas. Vamos usar a interpretação geométrica dos limites de integração dupla e de superfícies em 3D.

Passo 2

Item (a): observamos que os limites são 1 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 2x. Isso define no plano xy uma faixa vertical entre as retas x=1 e x=2, limitada inferiormente pela reta y=0 (eixo x) e superiormente pela reta y=2x. Basta desenhar essas quatro fronteiras e sombrear a região entre elas.

Passo 3

Item (b): aqui 1 ≤ x ≤ 2 e 1/x ≤ y ≤ x^2. Temos duas curvas no plano xy: a hipérbole y=1/x e a parábola y=x^2. Para x variando de 1 a 2, desenhe ambos os gráficos, depois faça o sombreado da região entre eles.

Passo 4

Item ©: as superfícies são o parabolóide
x^2+y^2+z=12
e o plano
z=8.
Reescrevendo o parabolóide, temos z=12−x²−y². A interseção com o plano z=8 ocorre quando 8=12−x²−y², ou seja x²+y²=4, um círculo de raio 2 no plano z=8. O sólido delimitado é a “tampa” do parabolóide entre z=8 e z=12−x²−y², sobre o disco x²+y²≤4.

Passo 5

Para cada caso, o esboço final é feito desenhando as curvas ou superfícies identificadas e sombreando a região entre elas conforme descrito.

Resposta

a) Região D_a = { (x,y): 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2x } no plano xy, limitada por x=1, x=2, y=0, y=2x.
b) Região D_b = { (x,y): 1 ≤ x ≤ 2, 1/x ≤ y ≤ x^2 } no plano xy, entre as curvas y=1/x e y=x^2 para x em [1,2].
c) Sólido S = { (x,y,z): x2+y2+z=12 e z=8 }, isto é, o sólido entre o parabolóide z=12−x2−y2 e o plano z=8, com projeção x2+y2≤4 no plano z=8.

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