Sabe-se que a condição na qual um sistema contínuo LIT é BIBO estável é que a resposta ao impulso seja absolutamente integrável, ou seja,
Mostre que qualquer sistema que não satisfaça esta condição não é BIBO estável, ou seja, mostre que esta condição é também suficiente. (Use, por exemplo, a seguinte entrada limitada).
Passo 1
Vamos lá! A questão fala sobre sistemas LIT (Lineares e Invariantes no Tempo) contínuos e a estabilidade BIBO (Bounded Input, Bounded Output), que significa que entradas limitadas geram saídas também limitadas. O enunciado nos diz que para um sistema ser BIBO estável, a resposta ao impulso
precisa ser absolutamente integrável, ou seja:
Nosso objetivo aqui é mostrar que se essa condição não for satisfeita, o sistema não é BIBO estável. Para isso, vamos usar uma entrada específica limitada conforme sugerido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a condição não ser satisfeita. Se a integral da resposta ao impulso não for finita, temos:
Isso quer dizer que a resposta ao impulso
não é absolutamente integrável.
Passo 3
Agora, vamos escolher uma entrada
que é limitada, ou seja, tem valores máximos e mínimos conhecidos. A entrada sugerida é:
Essa definição garante que
para todo
, então a entrada está limitada.
Passo 4
Para encontrar a saída
do sistema, usamos a operação de convolução:
Vamos analisar o que acontece com essa integral.
Passo 5
Substituindo
na expressão da saída, temos:
Isso simplifica para:
Porque quando
,
, e quando
,
.
Passo 6
Já que assumimos que a integral de
é infinita, temos:
Isso significa que a saída
é infinita, ou seja, não é limitada.
Resposta
Portanto, mostramos que se a condição
não for satisfeita, ou seja, for infinita, o sistema não é BIBO estável. Assim, a condição dada é também suficiente para garantir a estabilidade BIBO de um sistema LIT contínuo.