Sabe-se que a condição na qual um sistema contínuo LIT é BIBO estável é que a resposta ao impulso seja absolutamente integrável, ou seja,
integral-infty^infty|h(t)| d t
Mostre que qualquer sistema que não satisfaça esta condição não é BIBO estável, ou seja, mostre que esta condição é também suficiente. (Use, por exemplo, a seguinte entrada limitada).
x(t-tau)= 1, & h(tau)>0 -1, & h(tau)<0

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre sistemas LIT (Lineares e Invariantes no Tempo) contínuos e a estabilidade BIBO (Bounded Input, Bounded Output), que significa que entradas limitadas geram saídas também limitadas. O enunciado nos diz que para um sistema ser BIBO estável, a resposta ao impulso integral-infty^infty|h(t)| , dt < infty precisa ser absolutamente integrável, ou seja:
Nosso objetivo aqui é mostrar que se essa condição não for satisfeita, o sistema não é BIBO estável. Para isso, vamos usar uma entrada específica limitada conforme sugerido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a condição não ser satisfeita. Se a integral da resposta ao impulso não for finita, temos:
integral-infty^infty|h(t)| , dt = infty
Isso quer dizer que a resposta ao impulso não é absolutamente integrável.

Passo 3

Agora, vamos escolher uma entrada x(t-tau) = 1, & se h(tau) > 0 -1, & se h(tau) < 0 que é limitada, ou seja, tem valores máximos e mínimos conhecidos. A entrada sugerida é:
Essa definição garante que para todo , então a entrada está limitada.

Passo 4

Para encontrar a saída y(t) = integral-infty^infty h(tau) , x(t - tau) , dtau do sistema, usamos a operação de convolução:
Vamos analisar o que acontece com essa integral.

Passo 5

Substituindo y(t) = integral-infty^infty h(tau) cdot 1, & h(tau) > 0 -1, & h(tau) < 0 dtau na expressão da saída, temos:
y(t) = integral-infty^infty |h(tau)| , dtau
Isso simplifica para:
Porque quando , , e quando , .

Passo 6

Já que assumimos que a integral de y(t) = integral-infty^infty |h(tau)| , dtau = infty é infinita, temos:
Isso significa que a saída é infinita, ou seja, não é limitada.

Resposta

Portanto, mostramos que se a condição não for satisfeita, ou seja, for infinita, o sistema não é BIBO estável. Assim, a condição dada é também suficiente para garantir a estabilidade BIBO de um sistema LIT contínuo.

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