Usando a integral de comvolução, encontre a resposta do sistema à entrada x(t), com x(t)=
i) u(t-2)
ii) e^5 t u(t)
iii) u(t)
iv) (t+1) u(t+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a resposta do sistema para diferentes entradas usando a integral de convolução. Isso envolve conceitos de sistemas lineares e invariantes no tempo (SLIT) e de convolução. Precisamos saber qual é a resposta ao impulso do sistema para poder fazer a convolução com cada . Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

i) y(t) = integral-infty^infty x(tau) h(t - tau) dtau
Primeiro, lembre-se que a convolução de com é dada por:
Como , que é a função degrau unitário deslocada, a integral se simplifica.

Passo 3

Vamos substituir y(t) = integral-infty^infty u(tau - 2) h(t - tau) dtau por :
A função é zero para e um para . Assim, os limites da integral mudam para de 2 até .

Passo 4

Portanto, a integral fica:
y(t) = integral2^t h(t - tau) dtau
Fazemos uma substituição para simplificar, deixando , então . Os novos limites serão de até 0.

Passo 5

A integral se torna:
y(t) = integral0^t - 2 h(theta) dtheta
Essa é a resposta do sistema para a entrada , que é a integral da resposta ao impulso de 0 até .

Passo 6

ii)
Agora, vamos encontrar a resposta do sistema quando a entrada é uma exponencial multiplicada pelo degrau unitário. Precisamos fazer a convolução de com .

Passo 7

A convolução é:
y(t) = integral-infty^infty e^5tau u(tau) h(t - tau) dtau
Como é zero para , os limites da integral vão de 0 até .

Passo 8

Simplificando:
y(t) = integral0^t e^5tau h(t - tau) dtau
Vamos fazer uma substituição similar, , então , e os limites vão de até 0.

Passo 9

A integral fica:
y(t) = integral0^t e^5(t - theta) h(theta) dtheta = e^5t integral0^t e^-5theta h(theta) dtheta
Essa é a resposta do sistema para a entrada .

Passo 10

iii)
Nesta parte, a entrada é apenas o degrau unitário. Vamos convoluir com .

Passo 11

A convolução é:
y(t) = integral-infty^infty u(tau) h(t - tau) dtau
Como é zero para , os limites da integral vão de 0 até .

Passo 12

Então, temos:
y(t) = integral0^t h(t - tau) dtau
Fazemos a substituição , , e os limites ficam de até 0.

Passo 13

A integral fica:
y(t) = integral0^t h(theta) dtheta
Essa é a resposta do sistema para a entrada .

Passo 14

iv)
Por fim, a entrada é uma função linear multiplicada por um degrau unitário deslocado. Vamos calcular a convolução de com .

Passo 15

A convolução é:
y(t) = integral-infty^infty (tau + 1) u(tau + 1) h(t - tau) dtau
A função é zero para e um para . Assim, os limites da integral são de até .

Passo 16

Substituindo:
y(t) = integral-1^t (tau + 1) h(t - tau) dtau
Vamos fazer a substituição , então , e os limites mudam para até 0.

Passo 17

A integral fica:
y(t) = integral0^t + 1 (t + 1 - theta) h(theta) dtheta
Essa é a resposta do sistema para a entrada .

Resposta

Para y(t) = integral0^t + 1 (t + 1 - theta) h(theta) dtheta , a resposta do sistema é:

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