Usando a integral de comvolução, encontre a resposta do sistema à entrada
, com
i)
ii)
iii)
iv)
i)
ii)
iii)
iv)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a resposta do sistema para diferentes entradas
usando a integral de convolução. Isso envolve conceitos de sistemas lineares e invariantes no tempo (SLIT) e de convolução. Precisamos saber qual é a resposta ao impulso do sistema
para poder fazer a convolução com cada
. Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
i)
Primeiro, lembre-se que a convolução de
com
é dada por:
Como
, que é a função degrau unitário deslocada, a integral se simplifica.
Passo 3
Vamos substituir
por
:
A função
é zero para
e um para
. Assim, os limites da integral mudam para de 2 até
.
Passo 4
Portanto, a integral fica:
Fazemos uma substituição para simplificar, deixando
, então
. Os novos limites serão de
até 0.
Passo 5
A integral se torna:
Essa é a resposta do sistema para a entrada
, que é a integral da resposta ao impulso de 0 até
.
Passo 6
ii)
Agora, vamos encontrar a resposta do sistema quando a entrada é uma exponencial multiplicada pelo degrau unitário. Precisamos fazer a convolução de
com
.
Passo 7
A convolução é:
Como
é zero para
, os limites da integral vão de 0 até
.
Passo 8
Simplificando:
Vamos fazer uma substituição similar,
, então
, e os limites vão de
até 0.
Passo 9
A integral fica:
Essa é a resposta do sistema para a entrada
.
Passo 10
iii)
Nesta parte, a entrada é apenas o degrau unitário. Vamos convoluir
com
.
Passo 11
A convolução é:
Como
é zero para
, os limites da integral vão de 0 até
.
Passo 12
Então, temos:
Fazemos a substituição
,
, e os limites ficam de
até 0.
Passo 13
A integral fica:
Essa é a resposta do sistema para a entrada
.
Passo 14
iv)
Por fim, a entrada é uma função linear multiplicada por um degrau unitário deslocado. Vamos calcular a convolução de
com
.
Passo 15
A convolução é:
A função
é zero para
e um para
. Assim, os limites da integral são de
até
.
Passo 16
Substituindo:
Vamos fazer a substituição
, então
, e os limites mudam para
até 0.
Passo 17
A integral fica:
Essa é a resposta do sistema para a entrada
.
Resposta
Para
, a resposta do sistema é: