Considere os resultados abaixo:
  • O volume V do sólido gerado pela rotação de uma região R em torno do eixo ox é
V=integrala^b pi[f(x)]^2 d x
  • O volume V do sólido gerado pela rotação de uma região R em torno do eixo oy é
V=integrala^b 2 pi x f(x) d x
  • A área da superfície S gerada pela revolução da curva dada por y=f(x) entre x=a e x=b em torno do eixo oy é
S=integrala^b 2 pi x raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
  • A área da superfície S gerada pela revolução da curva dada por y=f(x) entre x=a e x=b em torno do eixo o x é
S=integrala^b 2 pi f(x) raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
Levando-sae em conta estes resultados determine a área da superfıcie de revolução e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
parábola y=4 x-x^2 e o eixo ox

Passo 1

Vamos girar a região limitada por y=4x−x² e o eixo x em torno de ox e calcular volume e área de superfície usando as fórmulas de revolução.

Passo 2

Primeiro identificamos onde a parábola corta o eixo x: 4x−x²=0 ⇒ x(4−x)=0, logo x=0 e x=4. Então a região está em x∈[0,4]

Passo 3

Para o volume usamos
V=integral0^4pil[4x-x^2r]^2dx
Expandindo (4x−x²)²= x⁴−8x³+16x² e integrando, obtemos
[
V=\pi\int_{0}{4}(x{4}-8x{3}+16x{2})dx=
\pi\Bigl[\frac{x{5}}{5}-2x{4}+\frac{16x{3}}{3}\Bigr]_{0}{4}=
\frac{512\pi}{15}.

Passo 4

Para a área de superfície usamos
S=integral0^42pi,yraiz1+(y')^2,dx =2piintegral0^4(4x-x^2)raiz1+(4-2x)^2,dx
Fazemos a mudança x−2=t para simplificar a raiz, e se chega à integral
I=integral-2^2(-t^2+4)raiz4t^2+1,dt =2integral0^2(-t^2+4)raiz4t^2+1,dt

Passo 5

Dividimos em duas integrais A=∫₀²√(4t²+1)dt e B=∫₀²t²√(4t²+1)dt, computamos cada uma (usando u=2t e fórmulas conhecidas) e obtemos
I=raiz174+6732lnl(4+raiz17r)
Então
S=2pi I=piraiz172+67pi16lnl(4+raiz17r) =pi16l(8raiz17+67ln(4+raiz17)r)

Resposta

Volume: tfrac512pi15, Área de superfície: tfracpi16l(8raiz17+67ln(4+raiz17)r).

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