Considere os resultados abaixo:
- O volume
do sólido gerado pela rotação de uma região
em torno do eixo ox é
- O volume
do sólido gerado pela rotação de uma região
em torno do eixo oy é
- A área da superfície
gerada pela revolução da curva dada por
entre
e
em torno do eixo oy é
- A área da superfície
gerada pela revolução da curva dada por
entre
e
em torno do eixo
é
Levando-sae em conta estes resultados determine a área da superfıcie de revolução e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
parábola
e o eixo ox
parábola
Passo 1
Vamos girar a região limitada por y=4x−x² e o eixo x em torno de ox e calcular volume e área de superfície usando as fórmulas de revolução.
Passo 2
Primeiro identificamos onde a parábola corta o eixo x: 4x−x²=0 ⇒ x(4−x)=0, logo x=0 e x=4. Então a região está em x∈[0,4]
Passo 3
Para o volume usamos
Expandindo (4x−x²)²= x⁴−8x³+16x² e integrando, obtemos
[
V=\pi\int_{0}{4}(x{4}-8x{3}+16x{2})dx=
\pi\Bigl[\frac{x{5}}{5}-2x{4}+\frac{16x{3}}{3}\Bigr]_{0}{4}=
\frac{512\pi}{15}.
V=\pi\int_{0}{4}(x{4}-8x{3}+16x{2})dx=
\pi\Bigl[\frac{x{5}}{5}-2x{4}+\frac{16x{3}}{3}\Bigr]_{0}{4}=
\frac{512\pi}{15}.
Passo 4
Para a área de superfície usamos
Fazemos a mudança x−2=t para simplificar a raiz, e se chega à integral
Passo 5
Dividimos em duas integrais A=∫₀²√(4t²+1)dt e B=∫₀²t²√(4t²+1)dt, computamos cada uma (usando u=2t e fórmulas conhecidas) e obtemos
Então
Resposta
Volume:
, Área de superfície:
.