Use os três primeiros termos da série de Taylor para calcular:
integral0^1 11+x^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar o valor da integral integral0^1 11+x^2,dx usando os três primeiros termos da série de Taylor de 11+x^2. Vamos precisar do desenvolvimento em série de potências em torno de x=0 e depois integrar termo a termo.

Passo 2

A série de Taylor de 11+u em torno de u=0 é
11+u=sumn=0^infty(-1)^n u^n,
válida para |u|<1. Aqui tomamos u=x^2, logo
11+x^2=1 - x^2 + x^4 - x^6 + cdots
Os três primeiros termos são
1 - x^2 + x^4

Passo 3

Agora integramos cada termo de 0 a 1 separadamente. Temos:
integral0^11,dx=l[xr]0^1=1,
integral0^1x^2,dx=l[tfracx^33r]0^1=tfrac13,
integral0^1x^4,dx=l[tfracx^55r]0^1=tfrac15

Passo 4

Somando com os sinais corretos da série (lembre que o termo x^2 entra com sinal negativo):
integral0^1(1 - x^2 + x^4),dx = 1 - tfrac13 + tfrac15

Resposta

1 - tfrac13 + tfrac15 = tfrac1315 ≈ 0,867

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