Considere os resultados abaixo:
- O volume
do sólido gerado pela rotação de uma região
em torno do eixo ox é
- O volume
do sólido gerado pela rotação de uma região
em torno do eixo oy é
- A área da superfície
gerada pela revolução da curva dada por
entre
e
em torno do eixo oy é
- A área da superfície
gerada pela revolução da curva dada por
entre
e
em torno do eixo
é
Levando-sae em conta estes resultados determine a área da superfıcie de revolução e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
curva
, retas
e
curva
Passo 1
O enunciado pede o volume e a área da superfície do sólido obtido girando a região limitada por x = y^3, y = 1 e x = 8 em torno de cada eixo (ox e oy). O conteúdo envolve cálculo de volume por método das cascas cilíndricas e áreas de revolução de curvas usando as fórmulas dadas.
Passo 2
Volume em torno de ox: usamos cascas em y. O raio da casca é y, a altura é 8−y^3 e o elemental é dy, logo
Fazendo a integral:
Passo 3
Volume em torno de oy: agora cascas em x. A altura é (2−x^{1/3}), o raio é x, e dx, logo
Integrando:
Passo 4
Área de superfície gerada pela curva x=y^3 (1≤y≤2) em torno de ox: usamos
com
. Então
Fazendo a substituição
e integrando, obtemos
Passo 5
Área de superfície gerada pela curva y=x^{1/3} (1≤x≤8) em torno de oy: usamos
com
. Logo
após a mudança
. O resultado fechado é
Resposta
V_{ox}=\tfrac{58\pi}{5}, \quad V_{oy}=\tfrac{120\pi}{7},\
S_{ox}=2\pi\Bigl[\tfrac{y2}{4}\sqrt{1+9y4}+\tfrac{1}{12}\ln\bigl(3y2+\sqrt{1+9y4}\bigr)\Bigr]{1}^{2},\
S{oy}=\pi,\frac{145\sqrt{145}-10\sqrt{10}}{27}
S_{ox}=2\pi\Bigl[\tfrac{y2}{4}\sqrt{1+9y4}+\tfrac{1}{12}\ln\bigl(3y2+\sqrt{1+9y4}\bigr)\Bigr]{1}^{2},\
S{oy}=\pi,\frac{145\sqrt{145}-10\sqrt{10}}{27}