Considere os resultados abaixo:
  • O volume V do sólido gerado pela rotação de uma região R em torno do eixo ox é
V=integrala^b pi[f(x)]^2 d x
  • O volume V do sólido gerado pela rotação de uma região R em torno do eixo oy é
V=integrala^b 2 pi x f(x) d x
  • A área da superfície S gerada pela revolução da curva dada por y=f(x) entre x=a e x=b em torno do eixo oy é
S=integrala^b 2 pi x raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
  • A área da superfície S gerada pela revolução da curva dada por y=f(x) entre x=a e x=b em torno do eixo o x é
S=integrala^b 2 pi f(x) raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
Levando-sae em conta estes resultados determine a área da superfıcie de revolução e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
curva y^3=x, retas y=1 e x=8

Passo 1

O enunciado pede o volume e a área da superfície do sólido obtido girando a região limitada por x = y^3, y = 1 e x = 8 em torno de cada eixo (ox e oy). O conteúdo envolve cálculo de volume por método das cascas cilíndricas e áreas de revolução de curvas usando as fórmulas dadas.

Passo 2

Volume em torno de ox: usamos cascas em y. O raio da casca é y, a altura é 8−y^3 e o elemental é dy, logo
Vx=2piintegral1^2yl(8-y^3r),dy
Fazendo a integral:
Vx=2pil[4y^2-tfrac15y^5r]1^2=2pil(tfrac485-tfrac195r)=tfrac58pi5

Passo 3

Volume em torno de oy: agora cascas em x. A altura é (2−x^{1/3}), o raio é x, e dx, logo
Vy=2piintegral1^8xl(2-x^1/3r),dx =2piintegral1^8(2x-x^4/3),dx
Integrando:
Vy=2pil[x^2-tfrac37x^7/3r]1^8=2pil(tfrac607r)=tfrac120pi7

Passo 4

Área de superfície gerada pela curva x=y^3 (1≤y≤2) em torno de ox: usamos
Sx=integral1^22pi yraiz1+l(tfracdxdyr)^2,dy,
com dx/dy=3y^2. Então
Sx=2piintegral1^2yraiz1+9y^4,dy
Fazendo a substituição t=y^2 e integrando, obtemos
Sx=2pil[tfracy^24raiz1+9y^4+tfrac112lnl(3y^2+raiz1+9y^4r)r]1^2

Passo 5

Área de superfície gerada pela curva y=x^{1/3} (1≤x≤8) em torno de oy: usamos
Sy=integral1^82pi xraiz1+l(tfracdydxr)^2,dx,
com dy/dx=tfrac13x^-2/3. Logo
Sy=2piintegral1^8xraiz1+tfrac19x^-4/3,dx =piintegral1^8traiz9t^2+1,dt
após a mudança t=x^2/3. O resultado fechado é
Sy=pi,145raiz145-10raiz1027

Resposta

V_{ox}=\tfrac{58\pi}{5}, \quad V_{oy}=\tfrac{120\pi}{7},\
S_{ox}=2\pi\Bigl[\tfrac{y2}{4}\sqrt{1+9y4}+\tfrac{1}{12}\ln\bigl(3y2+\sqrt{1+9y4}\bigr)\Bigr]{1}^{2},\
S
{oy}=\pi,\frac{145\sqrt{145}-10\sqrt{10}}{27}

Exercícios relacionados