Pretende-se extrair ácido acético (soluto) de uma solução aquosa com éter isopropílico (solvente extrator). Para isso preparamos 100 kg da mistura contendo, 30 kg de éter isopropílico ( S ), 10 kg de ácido acético (A) e 60 kg de água (B). Considerando os dados de equilíbrio apresentados a seguir (Fonte: Treybal 1980) responder as questões abaixo, considerando que a extração é feita a 293 K (ou 20^{\circ} \mathrm{C} ) e a 1,0 \mathrm{~atm} :
Fase rica em água (% peso) Fase rica em éter isopropílico (% peso)
Água Éter Ác. Acético Água Éter Ác. Acético
98,1 1,2 0,69 0,5 99,3 0,18
97,1 1,5 1,41 0,7 98,9 0,37
95,5 1,6 2,89 0,8 98,4 0,79
91,7 1,9 6,42 1 97,1 1,93
84,4 2,3 13,3 1,9 93,3 4,82
71,1 3,4 25,3 3,9 84,7 11,4
58,9 4,4 36,7 6,9 71,5 21,6
45,1 10,6 44,3 10,8 58,1 31,1
37,1 16,5 46,4 15,1 48,7 36,2
a) A mistura com essa composição original, após agitação vigorosa (contato) e posterior repouso, apresenta quantas fases líquidas em equilíbrio?
b) Qual a composição das fases líquidas em equilíbrio?
c) Quais as quantidades (em massa) das fases em equilíbrio (extrato e refinado)?

Passo 1

O enunciado pede:
  • (a) determinar quantas fases líquidas em equilíbrio aparecem após contato e repouso;
  • (b) determinar a composição (em % massa) de cada fase em equilíbrio;
  • (c) determinar as quantidades (em massa, kg) de cada fase em equilíbrio (extrato e refinado).
Dados fornecidos (peguei estes valores da tabela do enunciado, Treybal 1980, à 293\\ \mathrm{K} e 1{,}0\\ \mathrm{atm}):
  • Mistura inicial: 100\\ \mathrm{kg} total composta por \;60\\ \mathrm{kg} de água (B), \;30\\ \mathrm{kg} de éter isopropílico (S) e \;10\\ \mathrm{kg} de ácido acético (A). Logo a composição inicial em % massa é \; \mathrm{H_2O}=60\%, \mathrm{S}=30\%, \mathrm{A}=10\%.
  • Tabela de equilíbrios (cada linha é um par de fases em equilíbrio, “fase rica em água” e “fase rica em éter”), transcrevo as linhas úteis no cálculo quando necessário (estou usando os dados diretamente da tabela do enunciado).
Observação: a resolução começará de fato no Passo 2.

Passo 2

Estratégia e conceitos que vamos usar (explicação didática):
  • Quando uma mistura ternária (Água, Solvente, Soluto) é misturada e há limitação de miscibilidade, o sistema pode partir em duas fases líquidas que coexistem em equilíbrio. Cada fase tem uma composição fixa (para a dada temperatura/pressão) que é dada por pares da tabela (cada par = uma “tie-line”).
  • Em equilíbrio bifásico, as massas das fases m_1 (fase rica em água, “refinado”) e m_2 (fase rica em éter, “extrato”) satisfazem as balanços de massa para cada componente: m_1 + m_2 = 100\\ \mathrm{kg}
m_1\cdot\frac{a_1}{100} + m_2\cdot\frac{a_2}{100} = 10\\ \mathrm{kg}\quad\text{(balanço de ácido)}çá
m_1\cdot\frac{w_1}{100} + m_2\cdot\frac{w_2}{100} = 60\\ \mathrm{kg}\quad\text{(balanço de água)}çá
em que a_i e w_i são as porcentagens de ácido e água na fase i (em % massa).
  • Para uma dada tie-line (um par de composições na tabela) podemos tentar resolver essas equações. Se não existir solução física ( m_i positiva e m_1+m_2=100), então a mistura inicial NÃO está sobre essa tie-line.
  • As tie-lines variam continuamente ao longo da curva de coexistência; a tabela dá pontos discretos. Se a composição inicial não se situa exatamente sobre uma tie-line dada, pode ainda estar sobre uma tie-line intermediária — então podemos interpolar entre linhas adjacentes da tabela (assumindo variação suave) e procurar a tie-line que satisfaz simultaneamente os balanços. Isso é o que faremos: testaremos as linhas da tabela; encontramos que a solução cai entre duas linhas adjacentes (linhas 4 e 5 da tabela), então interpolamos entre elas para obter a tie-line correta onde a mistura inicial se encontra.
  • Matematicamente, para interpolação linear entre duas linhas consecutivas (índice 4 e 5), parametrizamos por t\in[0,1]: por exemplo a_L(t)=a_{L,4}+t\,(a_{L,5}-a_{L,4}),\quad a_R(t)=a_{R,4}+t\,(a_{R,5}-a_{R,4}),e o mesmo para w_L(t),w_R(t), onde L é a fase rica em água e R a fase rica em éter. Para cada t calculamos m_1(t) a partir do balanço do ácido e verificamos o balanço da água; então ajustamos t até que o balanço da água seja satisfeito (resolvendo uma equação em t). A variação linear é uma aproximação comum e adequada quando os pontos experimentais da tabela estão próximos.
Agora vamos aplicar isso passo a passo aos dados.

Passo 3

Verificação direta das tie-lines listadas (tentativa sem interpolar):
  • Para cada linha i da tabela tomamos (w_{1,i},s_{1,i},a_{1,i}) como composição da fase rica em água e (w_{2,i},s_{2,i},a_{2,i}) como composição da fase rica em éter (todos em % massa).
  • Usando o balanço do ácido e m_1+m_2=100 obtemos m_1 = 100\cdot\frac{10 - a_{2,i}}{a_{1,i} - a_{2,i}}.Se esse m_1 for entre 0 e 100, então checamos o balanço da água. Testando as linhas da tabela (linhas 1 a 9), apenas a linha 5 dá 0<m_1<100 (resultado m_1\approx61{,}08\\ \mathrm{kg}), mas com essa linha o balanço da água não é satisfeito (predição de água ≈ 52{,}28\\ \mathrm{kg} 60\\ \mathrm{kg}). As outras linhas geraram m_1 fora do intervalo físico ou água prevista incompatível. Conclusão: a composição inicial não está exatamente sobre nenhuma tie-line tabulada — está entre tie-lines adjacentes (especificamente entre a linha 4 e a linha 5). Portanto precisamos interpolar entre essas linhas.

Passo 4

Interpolação linear entre a linha 4 e a linha 5 (definição das funções):
  • Peguei os dados da tabela:
    • Linha 4 (fase rica em água): \;w_{L,4}=91{,}7\%, \;a_{L,4}=6{,}42\%.
    • Linha 4 (fase rica em éter): \;w_{R,4}=1{,}0\%, \;a_{R,4}=1{,}93\%.
    • Linha 5 (fase rica em água): \;w_{L,5}=84{,}4\%, \;a_{L,5}=13{,}3\%.
    • Linha 5 (fase rica em éter): \;w_{R,5}=1{,}9\%, \;a_{R,5}=4{,}82\%.
  • Parametrizo por t\in[0,1]: a_L(t)=6{,}42 + 6{,}88\,t,\qquad a_R(t)=1{,}93 + 2{,}89\,t,
w_L(t)=91{,}7 - 7{,}3\,t,\qquad w_R(t)=1{,}0 + 0{,}9\,t.
(Os coeficientes são simplesmente as diferenças entre linha 5 e linha 4 divididas por 1, porque fazemos interpolação linear.)

Passo 5

Equação para m_1(t) a partir do balanço do ácido (detalhando a fórmula):
  • Balanço do ácido (em kg): m_1\cdot\frac{a_L(t)}{100} + (100-m_1)\cdot\frac{a_R(t)}{100} = 10.Multiplicando por 100 e isolando m_1: m_1\,(a_L(t)-a_R(t)) + 100\,a_R(t) = 1000
\Rightarrow m_1(t) = 100\cdot\frac{10 - a_R(t)}{a_L(t) - a_R(t)}.

Passo 6

Impor o balanço da água para encontrar t (montagem da equação em t):
  • O balanço da água em kg é m_1(t)\cdot\frac{w_L(t)}{100} + (100-m_1(t))\cdot\frac{w_R(t)}{100} = 60.
  • Reescrevendo como: m_1(t)\,(w_L(t)-w_R(t)) + 100\,w_R(t) = 6000.
  • Substituímos m_1(t) da expressão do Passo 5 e obtemos uma equação apenas em t. Essa equação é do tipo racional, que depois de manipular se torna uma quadrática em t. Vou exibir os coeficientes obtidos pela manipulação algébrica (detalhei os números na análise):
Ao substituir e arrumar os termos obtemos a equação quadrática numérica
2728{,}9\,t^2 - 55966{,}6\,t + 46793{,}9 = 0.

Passo 7

Resolver a quadrática para t (explicando a solução numérica):
  • Calculamos o discriminante \Delta e a raiz relevante (a outra raiz cai fora do intervalo físico t\in[0,1]): \Delta \approx 2{,}621{,}476{,}821\quad\Rightarrow\quad \sqrt{\Delta}\approx 51{,}200{,}36.
  • Assim a solução física (menor raiz) é t \approx \frac{55966{,}6 - 51{,}200{,}36}{2\cdot2728{,}9}\approx 0{,}874.

Passo 8

Calcular as composições das fases correspondentes a t\approx0{,}874:
  • Substituindo t nas fórmulas de interpolação: a_L = 6{,}42 + 6{,}88\cdot 0{,}874 \approx 12{,}43\% ,
w_L = 91{,}7 - 7{,}3\cdot 0{,}874 \approx 85{,}32\% ,
s_L = 100 - w_L - a_L \approx 100 - 85{,}32 - 12{,}43 \approx 2{,}25\%.
Essas são as porcentagens da fase rica em água (refinado).
  • Para a fase rica em éter: a_R = 1{,}93 + 2{,}89\cdot 0{,}874 \approx 4{,}46\% ,
w_R = 1{,}0 + 0{,}9\cdot 0{,}874 \approx 1{,}79\% ,
s_R = 100 - w_R - a_R \approx 100 - 1{,}79 - 4{,}46 \approx 93{,}75\%.
  • Observação: mencionei explicitamente que os valores acima foram obtidos interpolando linearmente entre a linha 4 e a linha 5 da tabela do enunciado.

Passo 9

Calcular as massas das fases usando m_1(t) e m_2=100-m_1:
  • Usando a fórmula do Passo 5 com t=0{,}874: m_1 = 100\cdot\frac{10 - a_R}{a_L - a_R} \approx 100\cdot\frac{10 - 4{,}455}{12{,}43 - 4{,}455}\approx 69{,}47\\ \mathrm{kg}.
  • Então m_2 = 100 - m_1 \approx 30{,}53\\ \mathrm{kg}.
  • Verificação rápida (balanços): \text{Ácido: }69{,}47\cdot\frac{12{,}43}{100} + 30{,}53\cdot\frac{4{,}46}{100} \approx 8{,}63 + 1{,}36 \approx 10\\ \mathrm{kg},Á
\text{Água: }69{,}47\cdot\frac{85{,}32}{100} + 30{,}53\cdot\frac{1{,}79}{100} \approx 59{,}27 + 0{,}73 \approx 60\\ \mathrm{kg}.Á
As aproximações fecham os balanços dentro do erro de arredondamento.

Resposta

(a) Duas fases líquidas em equilíbrio.
(b) Composições em % massa: fase rica em água (refinado) =\; \mathrm{H_2O}=85{,}32\%, \mathrm{S}=2{,}25\%, \mathrm{A}=12{,}43\% ; fase rica em éter (extrato) =\; \mathrm{H_2O}=1{,}79\%, \mathrm{S}=93{,}75\%, \mathrm{A}=4{,}46\%.
(c) Massas das fases: refinado m_1\approx 69{,}47\\ \mathrm{kg}; extrato m_2\approx 30{,}53\\ \mathrm{kg}.

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