Considere a reta
definida pelas equações paramétricas:
e
onde
. Determine os valores das constantes A e B para que o plano
seja paralelo à reta r e para esses valores de A e B , determine um valor de
tal que a reta
não esteja contida no plano
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- A reta
está dada pelas equações paramétricas
- O plano
tem a equação
com
constantes a determinar.
- Perguntas:
- Determinar os valores de
e para que o plano seja paralelo à reta . - Para esses valores de
e , escolher (determinar) um valor de tal que a reta não esteja contida em .
- Determinar os valores de
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A direção da reta
é o vetor obtido pelos coeficientes de nas parametrizações, isto é o vetor
- O vetor normal do plano
é
Passo 2
Entendendo a condição “plano paralelo à reta”: explicação didática
- Um plano é paralelo a uma reta quando a reta é paralela ao plano, isto é, quando a direção da reta é ortogonal ao vetor normal do plano. Intuição: o vetor normal é perpendicular a todo vetor que fica dentro do plano; se a reta for paralela ao plano, sua direção deve estar perpendicular ao normal.
- Formalmente usamos o produto escalar (dot product). Para dois vetores
e o produto escalar é
- A condição de ortogonalidade é
.
Passo 3
Aplicando o produto escalar à nossa situação
- Usamos
e . - Calculamos o produto escalar e impomos que seja zero:
- Simplificando:
- Portanto a condição necessária (e suficiente) para que o plano seja paralelo à reta é
- Observação prática: isso é uma relação linear entre
e . Há infinitos pares que satisfazem; por exemplo: - se
então ; - se
então ; - em geral
.
- se
Passo 4
Critério para a reta estar contida no plano: ideia e procedimento
- A reta
está contida no plano se e somente se todo ponto da reta satisfaz a equação do plano. - Pegamos a parametrização da reta e substituímos na equação do plano. Se, após substituição, a igualdade for verdadeira para todo
, então a reta está contida; caso contrário, não está contida.
Passo 5
Substituição explícita e consequência
- Substituímos
na equação do plano:
- Desenvolvendo:
- Agrupando termos em
e termos constantes:
- Já conhecemos da condição de paralelo que
. Substituindo isso na expressão acima, o termo que multiplica anula-se, ficando
- Interpretação: quando o plano é paralelo à reta (ou seja quando
), a substituição produz uma igualdade sem dependência em . A reta estará contida no plano exatamente quando for igual a . - Consequentemente, para que a reta
NÃO esteja contida no plano (mantendo que satisfazem ), basta escolher um diferente de .
Passo 6
Dar um exemplo concreto (didático)
- Por exemplo, escolha
. Da relação vem . - Nesse caso
. - Então, por exemplo, escolher
garante que a reta não esteja contida no plano, porque . - Em termos gerais, uma escolha que sempre funciona é tomar
pois esse valor é diferente de
para qualquer
.