Considere a reta r definida pelas equações paramétricas: x=1+2 t, y=-1+t e z=3-t onde (t \in \Re). Determine os valores das constantes A e B para que o plano A x+B y-2 z=C seja paralelo à reta r e para esses valores de A e B , determine um valor de \mathbf{C} tal que a reta \mathbf{r} não esteja contida no plano \pi.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • A reta r está dada pelas equações paramétricas
x=1+2t,\qquad y=-1+t,\qquad z=3-t,\qquad (t\in\Re).
  • O plano \pi tem a equação
A x + B y - 2 z = C,
com A,B,C constantes a determinar.
  • Perguntas:
    1. Determinar os valores de A e B para que o plano \pi seja paralelo à reta r.
    2. Para esses valores de A e B, escolher (determinar) um valor de C tal que a reta r não esteja contida em \pi.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A direção da reta r é o vetor obtido pelos coeficientes de t nas parametrizações, isto é o vetor
\mathbf{v}=(2,1,-1).
  • O vetor normal do plano \pi é
\mathbf{n}=(A,B,-2).

Passo 2

Entendendo a condição “plano paralelo à reta”: explicação didática
  • Um plano é paralelo a uma reta quando a reta é paralela ao plano, isto é, quando a direção da reta é ortogonal ao vetor normal do plano. Intuição: o vetor normal é perpendicular a todo vetor que fica dentro do plano; se a reta for paralela ao plano, sua direção deve estar perpendicular ao normal.
  • Formalmente usamos o produto escalar (dot product). Para dois vetores \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3) o produto escalar é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}=u_1w_1+u_2w_2+u_3w_3.
  • A condição de ortogonalidade é \mathbf{u}\cdot\mathbf{w}=0.

Passo 3

Aplicando o produto escalar à nossa situação
  • Usamos \mathbf{n}=(A,B,-2) e \mathbf{v}=(2,1,-1).
  • Calculamos o produto escalar e impomos que seja zero:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=A\cdot 2 + B\cdot 1 + (-2)\cdot(-1)=0.
  • Simplificando:
2A + B + 2 = 0.
  • Portanto a condição necessária (e suficiente) para que o plano seja paralelo à reta é
2A + B = -2.
  • Observação prática: isso é uma relação linear entre A e B. Há infinitos pares (A,B) que satisfazem; por exemplo:
    • se A=0 então B=-2;
    • se A=-1 então B=0;
    • em geral B=-2-2A.

Passo 4

Critério para a reta estar contida no plano: ideia e procedimento
  • A reta r está contida no plano \pi se e somente se todo ponto da reta satisfaz a equação do plano.
  • Pegamos a parametrização da reta e substituímos na equação do plano. Se, após substituição, a igualdade for verdadeira para todo t, então a reta está contida; caso contrário, não está contida.

Passo 5

Substituição explícita e consequência
  • Substituímos x=1+2t,\; y=-1+t,\; z=3-t na equação do plano:
A(1+2t) + B(-1+t) -2(3-t) = C.
  • Desenvolvendo:
A + 2A t - B + B t - 6 + 2 t = C.
  • Agrupando termos em t e termos constantes:
t(2A + B + 2) + (A - B - 6) = C.
  • Já conhecemos da condição de paralelo que 2A + B + 2 = 0. Substituindo isso na expressão acima, o termo que multiplica t anula-se, ficando
A - B - 6 = C.
  • Interpretação: quando o plano é paralelo à reta (ou seja quando 2A+B=-2), a substituição produz uma igualdade sem dependência em t. A reta estará contida no plano exatamente quando C for igual a A - B - 6.
  • Consequentemente, para que a reta r NÃO esteja contida no plano \pi (mantendo A,B que satisfazem 2A+B=-2), basta escolher um C diferente de A - B - 6.

Passo 6

Dar um exemplo concreto (didático)
  • Por exemplo, escolha A=0. Da relação 2A+B=-2 vem B=-2.
  • Nesse caso A-B-6 = 0-(-2)-6 = -4.
  • Então, por exemplo, escolher C=0 garante que a reta r não esteja contida no plano, porque 0\neq -4.
  • Em termos gerais, uma escolha que sempre funciona é tomar
C = (A - B - 6) + 1 = A - B - 5,
pois esse valor é diferente de A - B - 6 para qualquer A,B.

Resposta

2A + B = -2
C \ne A - B - 6 (por exemplo, C = A - B - 5)

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