Determine as matrizes X e Y que satisfazem o sistema
\left\{\begin{array}{l} X+Y=A \\\ X-Y=B \end{array}, \text { sendo dadas } A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 4 & 7 \end{array}\right] \text { e } B=\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 5 \end{array}\right]\right.

Passo 1

O problema pede para determinar as matrizes X e Y que satisfazem o sistema
\left\{\begin{array}{l} X+Y=A,\\[4pt] X-Y=B, \end{array}\right.
onde foram dadas as matrizes (vetores linha)
A=\begin{bmatrix}1 & 4 & 7\end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix}2 & 1 & 5\end{bmatrix}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A e B são matrizes da mesma dimensão: 1\times 3 (uma linha e três colunas).
  • As incógnitas X e Y devem ser matrizes compatíveis com as operações acima, logo também são 1\times 3.
  • O enunciado pede as matrizes X e Y que satisfazem simultaneamente as duas equações.]

Passo 2

Vamos manipular o sistema de forma algébrica para isolar X e Y. Primeiro, some as duas equações membro a membro:
(X+Y)+(X-Y)=A+B.
No lado esquerdo, os Y se cancelam ou somam-se de forma simples, porque a soma de matrizes é feita elemento a elemento e a álgebra formal vale aqui igual à do caso escalar. Assim
2X = A+B.
Em seguida, divida por 2 (ou multiplique por \tfrac{1}{2}) para obter X:
X=\tfrac{1}{2}(A+B).
Nota didática: multiplicar uma matriz por um escalar significa multiplicar cada entrada da matriz por esse escalar. Isso é válido porque todas as matrizes aqui têm a mesma dimensão.

Passo 3

Calcule A+B elemento a elemento:
A+B=\begin{bmatrix}1+2 & 4+1 & 7+5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 & 5 & 12\end{bmatrix}.
Agora aplique o fator \tfrac{1}{2}:
X=\tfrac{1}{2}\begin{bmatrix}3 & 5 & 12\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\tfrac{3}{2} & \tfrac{5}{2} & 6\end{bmatrix}.
Explanação concreta: isso significa X tem primeira entrada \tfrac{3}{2}, segunda \tfrac{5}{2} e terceira 6.

Passo 4

Agora isole Y. Subtraia a segunda equação da primeira (ou faça a primeira menos a segunda):
(X+Y)-(X-Y)=A-B.
No lado esquerdo os X se cancelam, ficando
2Y = A-B.
Dividindo por 2 obtemos
Y=\tfrac{1}{2}(A-B).

Passo 5

Calcule A-B elemento a elemento:
A-B=\begin{bmatrix}1-2 & 4-1 & 7-5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1 & 3 & 2\end{bmatrix}.
Agora aplique \tfrac{1}{2}:
Y=\tfrac{1}{2}\begin{bmatrix}-1 & 3 & 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2} & 1\end{bmatrix}.

Passo 6

Verificação rápida (para garantir que não houve erro): calcule X+Y e X-Y com os resultados encontrados.
Cálculo de X+Y:
\begin{bmatrix}\tfrac{3}{2} & \tfrac{5}{2} & 6\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2} & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\tfrac{3}{2}-\tfrac{1}{2} & \tfrac{5}{2}+\tfrac{3}{2} & 6+1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 4 & 7\end{bmatrix}=A.
Cálculo de X-Y:
\begin{bmatrix}\tfrac{3}{2} & \tfrac{5}{2} & 6\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}-\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2} & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\tfrac{3}{2}+\tfrac{1}{2} & \tfrac{5}{2}-\tfrac{3}{2} & 6-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 1 & 5\end{bmatrix}=B.
A verificação confirma que as matrizes encontradas satisfazem o sistema.

Resposta

X=\begin{bmatrix}\tfrac{3}{2} & \tfrac{5}{2} & 6\end{bmatrix}
Y=\begin{bmatrix}-\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2} & 1\end{bmatrix}

Exercícios relacionados