Determine a equação do plano que passa por (1,1,1),(2,-1,1) e (3,2,1)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação do plano que passa pelos três pontos dados. Os pontos fornecidos são:
  • P_1=(1,1,1)
  • P_2=(2,-1,1)
  • P_3=(3,2,1)

Passo 2

Vamos construir dois vetores que ficam no plano, a partir desses pontos. A regra para o vetor que vai de um ponto A a um ponto B é \overrightarrow{AB}=B-A componente a componente. Definimos:
\vec{u}=\overrightarrow{P_1P_2}=P_2-P_1, \qquad \vec{v}=\overrightarrow{P_1P_3}=P_3-P_1.
Calculemos componente a componente:
\vec{u}=(2-1,\; -1-1,\; 1-1)=(1,\,-2,\,0),
\vec{v}=(3-1,\; 2-1,\; 1-1)=(2,\,1,\,0).
Explicação rápida: \vec{u} e \vec{v} são vetores que estão contidos no plano porque ligam pontos do próprio plano.

Passo 3

Para obter a equação do plano precisamos de um vetor normal ao plano (um vetor perpendicular a todo vetor que esteja no plano). O produto vetorial (cross product) de dois vetores do plano fornece exatamente esse vetor normal. Se \vec{u}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{v}=(b_1,b_2,b_3), então
\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}= \bigl(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\bigr).
Aqui, a_i e b_i são as componentes dos vetores \vec{u} e \vec{v}. Agora substituímos \vec{u}=(1,-2,0) e \vec{v}=(2,1,0):
\vec{n}= \bigl((-2)\cdot 0 - 0\cdot 1,\; 0\cdot 2 - 1\cdot 0,\; 1\cdot 1 - (-2)\cdot 2\bigr).
Calculando cada componente:
\vec{n}=(0,\;0,\;1+4)=(0,0,5).
Interpretação: \vec{n}=(0,0,5) é um vetor paralelo ao eixo z, ou seja, o plano tem normal na direção z.

Passo 4

A forma vetorial da equação de um plano com normal \vec{n}=(a,b,c) que passa por um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) é
\vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)- (x_0,y_0,z_0)\bigr)=0.
Aqui \vec{n}\cdot denota produto escalar e (x,y,z) são as coordenadas de um ponto genérico qualquer do plano. No nosso caso \vec{n}=(0,0,5) e podemos usar P_1=(1,1,1) como P_0. Substituindo:
(0,0,5)\cdot\bigl((x,y,z)-(1,1,1)\bigr)=0.
O produto escalar é
0\cdot(x-1)+0\cdot(y-1)+5\cdot(z-1)=0.
Isso reduz para
5(z-1)=0.
Dividindo por 5 (não muda o plano), obtemos
z-1=0.
Portanto a equação simplificada do plano é z=1.

Passo 5

Cheque rápido (confiança): todos os pontos dados têm coordenada z=1, então eles realmente estão em z=1. Isso confirma que a equação encontrada é consistente.

Resposta

z=1

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