Calcule o ângulo entre a reta que passa por (3,0,-1) e (5,2,-5) e a reta que passa por (2, 3,1) e (1,2,3)

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre duas retas dadas por dois pares de pontos. Os dados fornecidos são os pontos:
  • Primeira reta: (3,0,-1) e (5,2,-5).
  • Segunda reta: (2,3,1) e (1,2,3).
O que se quer é o ângulo entre essas duas retas no espaço. Para isso vamos trabalhar com os vetores diretores de cada reta, que são os vetores obtidos subtraindo as coordenadas dos pontos de cada reta. A resolução começa encontrando esses vetores diretores.

Passo 2

Calcular os vetores diretores. Se uma reta passa por P_1=(x_1,y_1,z_1) e P_2=(x_2,y_2,z_2), um vetor diretor é \overrightarrow{d}=P_2-P_1=(x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1).
Aplicando aos pontos:
  • Para a primeira reta,
\overrightarrow{v}= (5-3,\;2-0,\;-5-(-1)) = (2,\;2,\;-4).
  • Para a segunda reta,
\overrightarrow{w}= (1-2,\;2-3,\;3-1) = (-1,\;-1,\;2).

Passo 3

Lembra do produto escalar entre vetores? Para vetores \overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3) e \overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3) temos
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
O produto escalar nos dá informação sobre o ângulo entre vetores. Vamos calcular \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w}:
\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w}=2\cdot(-1)+2\cdot(-1)+(-4)\cdot2 = -2-2-8 = -12.

Passo 4

Precisamos também das normas (comprimentos) dos vetores. A norma de \overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3) é
\|\overrightarrow{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.
Calculemos:
\|\overrightarrow{v}\|=\sqrt{2^2+2^2+(-4)^2}=\sqrt{4+4+16}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}.
\|\overrightarrow{w}\|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}.

Passo 5

Fórmula para o cosseno do ângulo \theta entre dois vetores:
\cos\theta=\frac{\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w}}{\|\overrightarrow{v}\|\,\|\overrightarrow{w}\|}.
Substituindo os valores que achamos:
\|\overrightarrow{v}\|\,\|\overrightarrow{w}\|=(2\sqrt{6})\cdot\sqrt{6}=2\cdot6=12.
\cos\theta=\frac{-12}{12}=-1.

Passo 6

Interpretando \cos\theta=-1: isso significa que \theta=\operatorname{arccos}(-1)=\pi radianos (isto é, 180^\circ). Em termos de vetores, significa que \overrightarrow{v} e \overrightarrow{w} são colineares e têm direções opostas — na verdade \overrightarrow{v}=-2\,\overrightarrow{w}, então as retas são paralelas (podem ser coincidentes ou distintas; aqui são paralelas distintas).

Passo 7

Na geometria de retas costuma-se tomar o ângulo entre retas como o menor ângulo entre suas direções, ou seja, um ângulo no intervalo [0,\tfrac{\pi}{2}]. Para garantir isso usa-se a versão com valor absoluto do produto escalar:
\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w}|}{\|\overrightarrow{v}\|\,\|\overrightarrow{w}\|}=\frac{|-12|}{12}=1.
Daí \varphi=\operatorname{arccos}(1)=0 radianos (ou 0^\circ). Esse é o ângulo entre as retas no sentido usual (o menor ângulo).

Passo 8

Conclusão prática: as retas são paralelas (vetores diretores colineares) e, tomando o menor ângulo entre elas, o ângulo é zero. Se alguém perguntar o ângulo orientado entre os vetores diretores (levando em conta sentido) a resposta seria \pi, mas geometricamente entre retas usa-se 0.

Resposta

\theta=0
\theta=0^\circ

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