Considere a reta L de equações paramétricas \left\{\begin{array}{l}x=1-t \\\ y=5+3 t \\\ z=2-t\end{array} \quad ;-\infty<t<+\infty\right. e os pontos P=(1,3,3) e Q=(2,2,3).
(a) Um dos pontos ( P ou Q ) pertence à reta L. Qual deles?
(b) Obtenha a equação do plano que contém a reta L e os pontos P e Q.
Passo 1
O enunciado nos dá a reta L\) em forma paramétrica
\[\begin{cases} x = 1 - t,\\\ y = 5 + 3t,\\\ z = 2 - t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R},
e os pontos P=(1,3,3)\] e \(Q=(2,2,3).
(a) Queremos verificar qual dos pontos pertence a L checando se existe t que satisfaça as três equações simultâneas.
(b) Para achar o plano que contém L e também P, usaremos um ponto de L (aquele que pertence) e o vetor diretor de L, junto com o vetor que une esse ponto até P, para obter o vetor normal ao plano e, então, sua equação.
Passo 2
Verificamos se P=(1,3,3) pertence a L.
Da primeira equação de L temos
1 = 1 - t \;\Longrightarrow\; t = 0.
Substituindo em y:
y = 5 + 3\cdot 0 = 5 \neq 3,
logo não há consistência. Portanto P\notin L.
Passo 3
Verificamos se Q=(2,2,3) pertence a L.
Da primeira equação de L obtemos
2 = 1 - t \;\Longrightarrow\; t = -1.
Substituindo em y e z:
y = 5 + 3(-1) = 2,\quad z = 2 - (-1) = 3,
o que coincide com as coordenadas de Q. Portanto Q\in L.
Passo 4
O vetor diretor de L é dado pelos coeficientes de t nas equações paramétricas, ou seja
\vec v = (-1,\,3,\,-1).
Passo 5
Como Q está em L e queremos o plano que contenha L e o ponto P, tomamos o vetor que vai de Q até P:
\overrightarrow{QP} = P - Q = (1-2,\;3-2,\;3-3) = (-1,\,1,\,0).
Passo 6
O vetor normal \vec n ao plano é perpendicular a \vec v e a \overrightarrow{QP}. Assim
\vec n = \vec v \times \overrightarrow{QP} = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ -1 & 3 & -1\\\\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (1,\,1,\,2).
Passo 7
A equação do plano com normal \vec n=(1,1,2) que passa por Q=(2,2,3) é
1\,(x-2) + 1\,(y-2) + 2\,(z-3) = 0
que se simplifica para
x + y + 2z - 10 = 0.
Resposta
(a) O ponto que pertence à reta L é Q.
(b) A equação do plano procurado é