Dado g(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t, utilize o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar g^{\prime}(x) :
g(x)=\int_{x}^{3 \pi / 2} \cos (\sqrt{t}) d t

Passo 1

O enunciado dá
g(x)=\int_{x}^{3\pi/2}\cos\bigl(\sqrt{t}\bigr)\,dt
e pede g'(x). O conteúdo usado é o Teorema Fundamental do Cálculo na forma para limites dependentes de x.

Passo 2

Lembrando o teorema: se
G(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,dt
então
G'(x)=f\bigl(v(x)\bigr)\,v'(x)\;-\;f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).

Passo 3

Aqui temos u(x)=x e v(x)=3\pi/2. Logo
u'(x)=1, \quad v'(x)=0, \quad f(t)=\cos\bigl(\sqrt{t}\bigr).
Substituindo na fórmula:
g'(x) =f\bigl(v(x)\bigr)\cdot0 \;-\; f\bigl(u(x)\bigr)\cdot1 = 0 \;-\; \cos\bigl(\sqrt{x}\bigr) = -\cos\bigl(\sqrt{x}\bigr).

Resposta

g'(x)=-\cos\bigl(\sqrt{x}\bigr).

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