Sejam A=(0,1,3), B=(1,2,4) e C=(2,1,6).
(a) Seja \pi o plano que contém A, B e C. Obtenha uma equação geral para o plano \pi.
(b) Seja r a reta que passa pela origem (0,0,0) e é perpendicular ao plano \pi. Obtenha equações paramétricas para a reta r.
(c) Encontre as coordenadas do ponto de interseção entre a reta r e o plano \pi.
(d) Calcule a distância { }^{(* *)} entre o plano \pi e a origem (0,0,0).
(**) Definimos a distância de um ponto P a um plano \pi como sendo a norma do vetor \overrightarrow{P Q}, onde Q é o único ponto de \pi tal que o vetor \overrightarrow{P Q} é paralelo ao vetor normal ao plano \pi.
Passo 1
O enunciado dá três pontos no espaço A=(0,1,3), B=(1,2,4) e C=(2,1,6). Precisamos encontrar:
– (a) a equação geral do plano \pi que passa por esses três pontos, usando o produto vetorial para achar o vetor normal;
– (b) a equação paramétrica da reta r que sai da origem e é perpendicular a \pi;
– (c) o ponto de interseção entre r e \pi;
– (d) a distância da origem ao plano \pi via a fórmula de distância ponto-plano.
Passo 2
Primeiro obtemos dois vetores contidos em \pi:
\overrightarrow{AB} = B - A = (1,2,4)-(0,1,3) = (1,1,1),
\overrightarrow{AC} = C - A = (2,1,6)-(0,1,3) = (2,0,3).
O vetor normal \mathbf{n} ao plano é dado pelo produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Calculando (por exemplo, regra de Sarrus) chega-se a
\mathbf{n} = (3,\,-1,\,-2).
Passo 3
A equação geral do plano com normal \mathbf{n}=(A,B,C) e passando por A obedece
\mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0.
Substituindo \mathbf{n}=(3,-1,-2) e A=(0,1,3) vem
(3,-1,-2)\cdot(x-0,\;y-1,\;z-3)=0
3x -1\,(y-1) -2\,(z-3)=0
3x - y +1 -2z +6 = 0
3x - y - 2z +7 = 0.
Passo 4
A reta r é perpendicular a \pi e passa pela origem (0,0,0), logo seu vetor direção é \mathbf{n}=(3,-1,-2). Suas equações paramétricas são
x = 3t,\quad y = -\,t,\quad z = -2t,\quad t\in\mathbb{R}.
Passo 5
Para achar o ponto de interseção, impomos que P(t)=(3t,-t,-2t) satisfaça a equação de \pi: