Considere uma reta
que passa por
e que forma ângulos de
e
com os eixos
e y respectivamente.
(a) Determine um vetor diretor, com todas as coordenadas positivas, para a reta r;
(b) Uma reta r, satisfazendo as condições do enunciado e com vetor diretor determinado pelo Item (a) é única. Dos pontos
$$
A=(1+\sqrt{2},-1,4), B=(-3,1+\sqrt{2},-5), C=(1+2 \sqrt{2}, 0,5) e D=(0,1,2+\sqrt{2})$$
quais pertencem a reta r?
(a) Determine um vetor diretor, com todas as coordenadas positivas, para a reta r;
(b) Uma reta r, satisfazendo as condições do enunciado e com vetor diretor determinado pelo Item (a) é única. Dos pontos
quais pertencem a reta r?
Passo 1
A reta r passa pelo ponto P₀=(1,−2,3) e forma ângulos α=45° com o eixo x e β=60° com o eixo y. Vamos usar cossenos diretores para achar um vetor diretor v e depois testar quais dos pontos dados estão em r.
Passo 2
Para uma reta, se v=(vₓ,v_y,v_z) é um vetor diretor, então os cossenos diretores satisfazem
Passo 3
Sabemos que
e
. Como sempre vale
temos
logo
(positivo para coordenada positiva).
Passo 4
Assim, os cossenos diretores são
. Para ter um vetor diretor com todas as coordenadas positivas e livre de frações, basta multiplicar por 2:
Passo 5
Agora usamos a forma paramétrica da reta:
Para testar cada ponto Q=(x,y,z), calculamos
e verificamos se
Fazendo isso, só os pontos A e C satisfazem as três equações simultaneamente.
Resposta
Vetor diretor: (√2, 1, 1). Os pontos que pertencem à reta são A e C.