Considere uma reta r que passa por (1,-2,3) e que forma ângulos de 45^circ e 60^circ com os eixos x e y respectivamente.
(a) Determine um vetor diretor, com todas as coordenadas positivas, para a reta r;
(b) Uma reta r, satisfazendo as condições do enunciado e com vetor diretor determinado pelo Item (a) é única. Dos pontos
$$
A=(1+\sqrt{2},-1,4), B=(-3,1+\sqrt{2},-5), C=(1+2 \sqrt{2}, 0,5) e D=(0,1,2+\sqrt{2})$$
quais pertencem a reta r?

Passo 1

A reta r passa pelo ponto P₀=(1,−2,3) e forma ângulos α=45° com o eixo x e β=60° com o eixo y. Vamos usar cossenos diretores para achar um vetor diretor v e depois testar quais dos pontos dados estão em r.

Passo 2

Para uma reta, se v=(vₓ,v_y,v_z) é um vetor diretor, então os cossenos diretores satisfazem
cosα=vₓ|v|, cosβ=vy|v|, cosγ=vz|v|

Passo 3

Sabemos que cos45°=tfracraiz22 e cos60°=tfrac12. Como sempre vale
cos^2α+cos^2β+cos^2γ=1,
temos
cos^2γ=1-l(raiz22r)^2-l(12r)^2=1-tfrac12-tfrac14=tfrac14,
logo cosγ=tfrac12 (positivo para coordenada positiva).

Passo 4

Assim, os cossenos diretores são (tfracraiz22,tfrac12,tfrac12). Para ter um vetor diretor com todas as coordenadas positivas e livre de frações, basta multiplicar por 2:
v=(raiz2,,1,,1)

Passo 5

Agora usamos a forma paramétrica da reta:
(x,y,z)=(1,-2,3)+t(raiz2,1,1)
Para testar cada ponto Q=(x,y,z), calculamos
t=x-1raiz2
e verificamos se
y+2=t e z-3=t
Fazendo isso, só os pontos A e C satisfazem as três equações simultaneamente.

Resposta

Vetor diretor: (√2, 1, 1). Os pontos que pertencem à reta são A e C.

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