Determine a posição relativa entre a reta r e o plano pi. Caso sejam concorrentes, determine também o ângulo formado por r e pi :
(a) r:(x, y, z)=(2-t, t, 2+t), t in R, e pi: x-z+1=0;
(b) r:(x, y, z)=(2+t, t, t), t in R, e pi: x-z+1=0;

Passo 1

Estamos lidando com posição relativa entre reta e plano e cálculo do ângulo entre reta e plano. Para isso, vamos precisar do vetor direção da reta d, do vetor normal ao plano n, do produto escalar dcdot n e das magnitudes | d|, | n|. Se dcdot nneq0, a reta intersecta o plano e então calculamos o ângulo alpha pela relação sinalpha=| dcdot n|/(| d|,| n|). Se dcdot n=0, a reta é paralela ao plano; para saber se está contida verificamos se um ponto da reta satisfaz a equação do plano.

Passo 2

Para o item (a): a reta é r:(x,y,z)=(2-t,t,2+t), então d=(-1,1,1). O plano é pi: x - z +1=0, com normal n=(1,0,-1). Calculamos
dcdot n=(-1)cdot1+1cdot0+1cdot(-1)=-2neq0. Logo a reta e o plano são concorrentes.

Passo 3

Para achar o ponto de interseção fazemos
(2-t)-(2+t)+1=0
que leva a 1-2t=0 e então t=1/2. Substituindo em r obtemos o ponto
Q=(2-tfrac12,,tfrac12,,2+tfrac12)=(1.5,0.5,2.5).

Passo 4

Para o ângulo entre reta e plano usamos
sinalpha=| dcdot n|| d|,| n| = 2raiz3,raiz2=2raiz6=raiz63

Passo 5

Logo
alpha=arcsinl(raiz63r)approx55^circ

Passo 6

Para o item (b): a reta é r:(x,y,z)=(2+t,t,t) com d=(1,1,1). Mantém-se n=(1,0,-1). Calculamos
dcdot n=1cdot1+1cdot0+1cdot(-1)=0.
Como o produto escalar é zero, a reta é paralela ao plano. Verificando o ponto (2,0,0) em x-z+1 2-0+1=3neq0, então não está contida. É uma paralela distinta.

Resposta

(a) A reta e o plano são concorrentes, intersectam-se em (1.5,0.5,2.5) e o ângulo entre eles é (\alpha=\arcsin(\sqrt6/3)\approx55^\circ.\n(b) A reta é paralela ao plano (distinta), sem interseção.

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