Determine a transformada de laplace de f(t)=kt - sen kt.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a transformada de Laplace da função . Isso faz parte do estudo de Transformadas de Laplace em Cálculo, uma ferramenta útil para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver esse problema, precisaremos conhecer as transformadas de Laplace básicas das funções e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função Lf(t) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt é dada por:
Isso nos permite transformar uma função do domínio do tempo para o domínio de Laplace (ou frequência), facilitando a resolução de equações.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace à função Lf(t) = Lk t - Lsin(k t) . A linearidade da transformada de Laplace nos permite separar a função em duas partes:
Isso simplifica nosso cálculo, já que podemos encontrar as transformadas de cada termo individualmente.

Passo 4

Vamos calcular primeiro a transformada de Lt = 1s^2 . Sabemos que:
Lk t = k cdot Lt = ks^2
Multiplicando por , temos:

Passo 5

Em seguida, calculamos a transformada de Lsin(a t) = as^2 + a^2 . A transformada de Laplace para Lsin(k t) = ks^2 + k^2 é:
Substituindo por :

Passo 6

Agora, substituímos as transformadas encontradas na expressão inicial:
Lf(t) = ks^2 - ks^2 + k^2
Esse é o resultado final da transformada de Laplace da função dada.

Resposta

A transformada de Laplace de Lf(t) = ks^2 - ks^2 + k^2 é:

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