Disserte sobre equações diferenciais ordinárias lineares homogêneas homogêneas de segunda, terceira e quarta ordem. Explique o método dos coeficientes indetermindados e variação de parâmetros. Faça um resumo sobre a resolução de equações diferenciais ordinárias por séries de potências.
Passo 1
O enunciado pede que a gente discorra sobre EDOs lineares homogêneas de 2ª, 3ª e 4ª ordem; explique também os métodos de coeficientes indeterminados e de variação de parâmetros para resolver EDOs não-homogêneas; e faça um resumo da técnica de séries de potências para solução de EDOs ordinárias.
Passo 2
EDOs lineares homogêneas de ordem n têm a forma geral
sendo no caso constante os coeficientes
. Para coeficientes constantes montamos a equação característica associada:
• 2ª ordem:
gera raízes
. Solução geral é
• 3ª e 4ª ordens seguem análogo: cada raiz real simples dá termo
, raiz real de multiplicidade m dá termos
, e par de raízes complexas
gera termos
e
.
Passo 3
O método dos coeficientes indeterminados serve para encontrar uma solução particular
de EDO linear não-homogênea com RHS de forma “padrão” (polinômios, exponenciais, senos, cossenos ou combinação simples). A ideia é supor um ansatz para
com coeficientes livres (indeterminados) semelhantes ao formato da RHS e depois determinar esses coeficientes igualando termos iguais após substituir na EDO.
Passo 4
O método de variação de parâmetros é mais geral e funciona mesmo quando a RHS não tem forma adequada para coeficientes indeterminados. Dado o conjunto de soluções fundamentais
da homogênea associada, supomos
aplicando condições auxiliares para obter um sistema de equações para
. Integramos para achar cada
e assim obtemos
.
Passo 5
Para resolver EDOs em torno de um ponto ordinário
(onde
) podemos usar séries de potências. Supomos
Substituímos essa série e suas derivadas na equação, alinhamos as potências de
e impomos que o coeficiente de cada potência seja zero. Com isso obtemos uma relação de recorrência entre os
, que permite determinar todos em função de poucos coeficientes iniciais (que correspondem às constantes de integração).
Passo 6
A técnica de séries de potências é muito útil quando não conseguimos solução em termos de funções elementares. Ela garante existência de soluções analíticas perto de pontos ordinários e, com adaptações (Frobenius), perto de pontos singulares regulares.
Resposta
As EDOs lineares homogêneas de 2ª, 3ª e 4ª ordem com coeficientes constantes são resolvidas pela equação característica e tratamento de raízes reais múltiplas e complexas. Para resolver casos não-homogêneos temos o método dos coeficientes indeterminados (quando a RHS é de forma compatível) e o método de variação de parâmetros (geral). Quando não há solução elementar, a expansão em séries de potências (e, se necessário, método de Frobenius) permite obter soluções analíticas em torno de pontos ordinários ou singulares regulares.