Considere um ponto A e um vetor não nulo \mathbf{w} em \mathbb{R}^{2}. Identifique geometricamente o conjunto dos pontos P \in \mathbb{R}^{2} tais que \overrightarrow{A P} \cdot \mathbf{w}=0.
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P\in\mathbb{R}^2 que satisfazem \overrightarrow{AP}\cdot \mathbf{w}=0,
sendo A um ponto fixo e \mathbf{w}\neq\mathbf{0}. Vamos usar que o produto escalar nullo indica ortogonalidade de vetores.
Passo 2
Note que \overrightarrow{AP}=P-A. A condição \overrightarrow{AP}\cdot \mathbf{w}=0
significa exatamente que o vetor P-A é perpendicular a \mathbf{w}.
Passo 3
Geometricamente, isso quer dizer que o segmento de reta que vai de A a P forma ângulo reto com \mathbf{w}. Portanto, todos os pontos P devem pertencer à reta que passa por A e é ortogonal a \mathbf{w}.
Passo 4
Uma forma de descrever parametricamente essa reta é
P = A + t\,\mathbf{v},\quad t\in\mathbb{R},
onde \mathbf{v} é qualquer vetor perpendicular a \mathbf{w} (por exemplo \mathbf{v}=(-w_{2},w_{1})).
Resposta
O conjunto é a reta em \mathbb{R}^2 que passa por A e é perpendicular ao vetor \mathbf{w}.