Use a regra da cadeia para determinar d zd s e d zd t.
z=sen(x) cos (y), x=s t^2, y=s^2 t

Passo 1

O enunciado pede para achar dzds e dzdt usando a regra da cadeia, onde z = sin(x)cos(y), x = s t^2 e y = s^2 t. Vamos precisar das derivadas parciais de z em relação a x e y e das derivadas de x e y em relação a s e t.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais: partial zpartial x = cos(x)cos(y) e partial zpartial y = -sin(x)sin(y). Isso vem de derivar sin(x) por x e cos(y) por y.

Passo 3

Para dzds, precisamos de dxds e dyds: dxds = t^2 e dyds = 2s t. Aplicando a regra da cadeia: dzds = partial zpartial xdxds + partial zpartial ydyds. Substituindo as derivadas: dzds = cos(x)cos(y),t^2 + (-sin(x)sin(y)),2s t. Organizando: dzds = t^2cos(x)cos(y) - 2s t,sin(x)sin(y). Em seguida colocamos x = s t^2 e y = s^2 t.

Passo 4

Para dzdt, calculamos dxdt = 2s t e dydt = s^2. Usando regra da cadeia: dzdt = partial zpartial xdxdt + partial zpartial ydydt. Substituindo: dzdt = cos(x)cos(y),2s t + (-sin(x)sin(y)),s^2. Fica dzdt = 2s t,cos(x)cos(y) - s^2sin(x)sin(y). Novamente, inserimos x = s t^2 e y = s^2 t.

Resposta

dzds = t^2cos(s t^2)cos(s^2 t) - 2s t,sin(s t^2)sin(s^2 t)
dzdt = 2s t,cos(s t^2)cos(s^2 t) - s^2sin(s t^2)sin(s^2 t)

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