Determine a matriz X tal que 2 X+A^{T}=B, onde:
A=\left(\begin{array}{cc} 5 & 1 \\\\ 0 & -3 \end{array}\right) \quad \text { e } \quad B=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\\\ 7 & 3 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a matriz X que satisfaz a equação
2X + A^{T} = B.
As informações dadas são as matrizes A e B, que são:
A=\begin{pmatrix}5 & 1\\[6pt]0 & -3\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad B=\begin{pmatrix}1 & -1\\[6pt]7 & 3\end{pmatrix}.
Queremos, portanto, determinar todos os elementos de X tal que a igualdade acima seja verdadeira.]

Passo 2

Entendendo a operação de transposição: a transposta de uma matriz é obtida trocando linhas por colunas. Ou seja, o elemento da linha i e coluna j de A vira o elemento da linha j e coluna i de A^{T}. Aplicando isso a A,
A=\begin{pmatrix}5 & 1\\[6pt]0 & -3\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad A^{T}=\begin{pmatrix}5 & 0\\[6pt]1 & -3\end{pmatrix}.
Expliquei passo a passo: a primeira linha de A, (5,1), vira a primeira coluna de A^{T}; a segunda linha de A, (0,-3), vira a segunda coluna de A^{T}.]

Passo 3

Isolando X na equação 2X + A^{T} = B. Primeiro subtraímos A^{T} dos dois lados e depois dividimos por 2 (isto é, multiplicamos por \tfrac{1}{2}). Formalmente,
2X = B - A^{T}
e portanto
X = \tfrac{1}{2}\bigl(B - A^{T}\bigr).
Aqui usei a propriedade de que podemos realizar operações elementares nas matrizes (subtração e multiplicação escalar) componente a componente, porque A^{T} e B têm a mesma dimensão 2\times2.

Passo 4

Calculemos B - A^{T} elemento a elemento. Usando os dados de B e o A^{T} que já obtivemos:
B=\begin{pmatrix}1 & -1\\[6pt]7 & 3\end{pmatrix}, \qquad A^{T}=\begin{pmatrix}5 & 0\\[6pt]1 & -3\end{pmatrix}.
Subtraindo coordenada a coordenada:
B - A^{T}= \begin{pmatrix} 1-5 & -1-0\\[6pt] 7-1 & 3-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -1\\[6pt] 6 & 6 \end{pmatrix}.
Expliquei as contas: por exemplo, no canto superior esquerdo fiz 1-5=-4; no canto inferior direito fiz 3-(-3)=3+3=6.]

Passo 5

Agora multiplicamos a matriz resultante por \tfrac{1}{2} (ou dividimos cada elemento por 2), para obter X:
X=\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-4 & -1\\[6pt]6 & 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & -\tfrac{1}{2}\\[6pt]3 & 3\end{pmatrix}.
Mostrei a operação escalar: -4\cdot\tfrac{1}{2}=-2, -1\cdot\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{2}, 6\cdot\tfrac{1}{2}=3.]

Passo 6

Vamos checar rapidamente substituindo X de volta em 2X + A^{T} para confirmar que dá B. Calculando 2X:
2X=2\begin{pmatrix}-2 & -\tfrac{1}{2}\\[6pt]3 & 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-4 & -1\\[6pt]6 & 6\end{pmatrix}.
Somando A^{T}:
2X + A^{T}= \begin{pmatrix}-4 & -1\\[6pt]6 & 6\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}5 & 0\\[6pt]1 & -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -1\\[6pt]7 & 3\end{pmatrix}=B.
A verificação confirma que a solução está correta. Parabéns — conseguimos!]

Resposta

X=\begin{pmatrix}-2 & -\tfrac{1}{2}\\[6pt]3 & 3\end{pmatrix}]

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