Se
\operatorname{sen}(x) \cdot \cos (x)=\frac{2}{5} \quad \text { e } \quad 0<x<\frac{\pi}{4}
quanto vale \operatorname{tg}(x) ?

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
\operatorname{sen}(x)\cdot\cos(x)=\frac{2}{5}
e a condição sobre o ângulo
0<x<\frac{\pi}{4}.
O que se pede: calcular \operatorname{tg}(x).

Passo 2

Para organizar, defino as quantidades
s=\operatorname{sen}(x),\qquad c=\cos(x),\qquad t=\operatorname{tg}(x)=\frac{s}{c}.
Também uso a identidade trigonométrica fundamental (teorema de Pitágoras para seno e cosseno):
s^{2}+c^{2}=1.
Além disso temos a informação dada
s\,c=\frac{2}{5}.

Passo 3

Expresso s em função de t e c: s=t c. Substituo isso em s^{2}+c^{2}=1:
(t c)^{2}+c^{2}=1.
Fatorando c^{2} obtém-se
c^{2}(t^{2}+1)=1.
Logo
c^{2}=\frac{1}{1+t^{2}}.

Passo 4

Agora uso s\,c em termos de t e c^{2}. Como s=t c, então
s\,c = t c^{2}.
Pelo dado do enunciado temos
t\,c^{2}=\frac{2}{5}.
Substituo c^{2}=\dfrac{1}{1+t^{2}} nessa igualdade:
\frac{t}{1+t^{2}}=\frac{2}{5}.

Passo 5

Resolvendo a equação racional, faço a multiplicação em cruz:
5t=2(1+t^{2}).
Expandindo e colocando em forma padrão:
2t^{2}-5t+2=0.
Isto é uma equação quadrática. Calculo o discriminante:
\Delta = (-5)^{2}-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9.
As raízes são
t=\frac{5\pm\sqrt{9}}{4}=\frac{5\pm 3}{4}.
Portanto as soluções são
t=2\quad\text{ou}\quad t=\frac{1}{2}.

Passo 6

Agora uso a condição do ângulo para escolher a solução correta. Como 0<x<\dfrac{\pi}{4}, o ângulo está no 1º quadrante e \operatorname{tg}(x) é positiva e, além disso, para x<\dfrac{\pi}{4} vale \operatorname{tg}(x)<1. Das duas raízes positivas obtidas, apenas
\operatorname{tg}(x)=\frac{1}{2}
satisfaz \operatorname{tg}(x)<1. Assim essa é a solução apropriada.

Passo 7

Verificação rápida (opcional): com t=\dfrac{1}{2},
c^{2}=\frac{1}{1+t^{2}}=\frac{1}{1+\tfrac{1}{4}}=\frac{1}{\tfrac{5}{4}}=\frac{4}{5},
logo c=\sqrt{\tfrac{4}{5}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}} (positivo no 1º quadrante) e
s=t c=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.
Então
s\,c=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{5},
confirmando o enunciado.

Resposta

\operatorname{tg}(x)=\dfrac{1}{2}

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