Qual a área da circunferência circunscrita ao triângulo de lados
e 4 ?
Passo 1
O enunciado dá os comprimentos dos três lados do triângulo:
O que se pede: a área da circunferência circunscrita ao triângulo — isto é, a área do círculo cujo raio é o raio circunscrito (circumradius) do triângulo.
Vou usar apenas os dados acima; nada mais foi pedido.
Passo 2
Observação útil e simplificadora: calcule o produto
.
Logo
, e portanto
. Isso vai eliminar trabalho nas etapas seguintes.
Passo 3
Para calcular a área do triângulo pelo método que usarei, preciso do semiperímetro
, definido como metade da soma dos lados:
Substituindo os valores dados:
Passo 4
Calcular
,
e
(necessários para a fórmula de Heron):
Passo 5
Explicando a fórmula que vou usar para a área do triângulo: Heron diz que a área
de um triângulo com lados
e semiperímetro
é
Aqui
é metade do perímetro e os fatores
são as diferenças entre o semiperímetro e cada lado — a fórmula dá a área diretamente a partir dos três lados.
Agora aplico Heron com os valores que já calculei:
primeiro note que
primeiro note que
Assim, ao multiplicar todos os fatores dentro da raiz:
Logo
Passo 6
Agora precisamos do raio circunscrito
(o raio do círculo que passa pelos três vértices). Vou usar a fórmula que relaciona lados, área e raio circunscrito:
Explicação rápida dessa fórmula: usando a lei dos senos
,
,
e a expressão da área
, elimina-se
e obtém-se
, que reescrita dá
. Essa é uma fórmula prática para encontrar
a partir dos lados e da área.
Passo 7
Calcular
. Como vimos em
Passo 8
Substituindo na fórmula do raio:
Passo 9
A área do círculo de raio
é
. Calculando:
então