Qual a área da circunferência circunscrita ao triângulo de lados \sqrt{5}-1, \sqrt{5}+1 e 4 ?

Passo 1

O enunciado dá os comprimentos dos três lados do triângulo:
  • a=\sqrt{5}-1
  • b=\sqrt{5}+1
  • c=4
O que se pede: a área da circunferência circunscrita ao triângulo — isto é, a área do círculo cujo raio é o raio circunscrito (circumradius) do triângulo.
Vou usar apenas os dados acima; nada mais foi pedido.

Passo 2

Observação útil e simplificadora: calcule o produto a\cdot b.
a\cdot b=(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)=(\sqrt{5})^2-1^2=5-1=4.
Logo a\cdot b=4, e portanto a\cdot b=c. Isso vai eliminar trabalho nas etapas seguintes.

Passo 3

Para calcular a área do triângulo pelo método que usarei, preciso do semiperímetro p, definido como metade da soma dos lados:
p=\frac{a+b+c}{2}.
Substituindo os valores dados:
p=\frac{(\sqrt{5}-1)+(\sqrt{5}+1)+4}{2}=\frac{2\sqrt{5}+4}{2}=\sqrt{5}+2.

Passo 4

Calcular p-a, p-b e p-c (necessários para a fórmula de Heron):
p-a=(\sqrt{5}+2)-(\sqrt{5}-1)=3,
p-b=(\sqrt{5}+2)-(\sqrt{5}+1)=1,
p-c=(\sqrt{5}+2)-4=\sqrt{5}-2.

Passo 5

Explicando a fórmula que vou usar para a área do triângulo: Heron diz que a área A de um triângulo com lados a,b,c e semiperímetro p é
A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.
Aqui p é metade do perímetro e os fatores p-a,p-b,p-c são as diferenças entre o semiperímetro e cada lado — a fórmula dá a área diretamente a partir dos três lados.
Agora aplico Heron com os valores que já calculei:
primeiro note que
(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)=(\sqrt{5})^2-2^2=5-4=1.
Assim, ao multiplicar todos os fatores dentro da raiz:
p(p-a)(p-b)(p-c)=(\sqrt{5}+2)\cdot 3\cdot 1\cdot (\sqrt{5}-2)=3\cdot\big((\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)\big)=3\cdot 1=3.
Logo
A=\sqrt{3}.

Passo 6

Agora precisamos do raio circunscrito R (o raio do círculo que passa pelos três vértices). Vou usar a fórmula que relaciona lados, área e raio circunscrito:
R=\frac{a b c}{4A}.
Explicação rápida dessa fórmula: usando a lei dos senos a=2R\sin A, b=2R\sin B, c=2R\sin C e a expressão da área A=\tfrac12 ab\sin C, elimina-se \sin C e obtém-se A=\dfrac{abc}{4R}, que reescrita dá R=\dfrac{abc}{4A}. Essa é uma fórmula prática para encontrar R a partir dos lados e da área.

Passo 7

Calcular abc. Como vimos em

Passo 8

abc=(a b)c=4\cdot 4=16.
Substituindo na fórmula do raio:
R=\frac{16}{4A}=\frac{16}{4\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}.

Passo 9

A área do círculo de raio R é \pi R^2. Calculando:
R^2=\left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^2=\frac{16}{3},
então
\text{Área do círculo}=\pi R^2=\pi\cdot\frac{16}{3}=\frac{16\pi}{3}.Áí

Resposta

\dfrac{16\pi}{3}

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