(a) Determine todas as matrizes A, 2 times 2, diagonais (os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero) que comutam com toda matriz B, 2 times 2, ou seja, tais que A B=B A, para toda matriz B, 2 times 2.
(b) Determine todas as matrizes A, 2 times 2, que comutam com toda matriz B, 2 times 2, ou seja, tais que A B=B A, para toda matriz B, 2 times 2.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) quais matrizes Ain M2(R) que são diagonais (isto é, A=a&00&d) satisfazem AB=BA para toda Bin M2(R).
  • (b) quais matrizes gerais Ain M2(R) satisfazem AB=BA para toda Bin M2(R).
    O conteúdo que vamos usar é a definição de produto de matrizes e a condição de comutatividade AB=BA.

Passo 2

Para (a), seja
A = a & 0 [6pt] 0 & d, B = b11 & b12 [4pt] b21 & b22
Calculamos
AB = a,b11 & a,b12 [4pt] d,b21 & d,b22, BA = b11,a & b12,d [4pt] b21,a & b22,d
Para ter AB=BA para toda escolha de bij, devemos ter
a,b12 = b12,d e d,b21 = b21,a
para todo b12,b21. Isso força
a - d = 0,
ou seja a=d. Então A=aI.]

Passo 3

Concluímos em (a) que as únicas matrizes diagonais que comutam com toda B são
A = a,I2 = a&00&a,
com ainR.

Passo 4

Para (b), seja agora
A = a & b [4pt] c & d
Uma forma clássica é exigir que A comute com as matrizes canônicas E12 e E21. Por exemplo, com E12=0&10&0 temos
A,E12 = 0& a [4pt] 0& c, E12,A = c& d [4pt] 0&0
Igualando dá c=0 e a=d. De modo análogo, com E21 obtém-se b=0 e de novo a=d. Logo
A = a&00&a = a,I2
]

Resposta

(a) A = a,I2, com ainR.
(b) A = lambda,I2, com lambdainR.

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