(a) Determine todas as matrizes
, diagonais (os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero) que comutam com toda matriz
, ou seja, tais que
, para toda matriz
.
(b) Determine todas as matrizes
, que comutam com toda matriz
, ou seja, tais que
, para toda matriz
.
(b) Determine todas as matrizes
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) quais matrizes
que são diagonais (isto é, ) satisfazem para toda . - (b) quais matrizes gerais
satisfazem para toda .
O conteúdo que vamos usar é a definição de produto de matrizes e a condição de comutatividade.
Passo 2
Para (a), seja
Calculamos
Para ter
para toda escolha de
, devemos ter
para todo
. Isso força
ou seja
. Então
.]
Passo 3
Concluímos em (a) que as únicas matrizes diagonais que comutam com toda
são
com
.
Passo 4
Para (b), seja agora
Uma forma clássica é exigir que
comute com as matrizes canônicas
e
. Por exemplo, com
temos
Igualando dá
e
. De modo análogo, com
obtém-se
e de novo
. Logo
]
Resposta
(a)
, com
.
(b) , com
.
(b)