Considere as retas r: x-32=4-y=z-13 e s: x-14=3-y2=z-45. É correto afirmar que elas são:

Passo 1

Temos duas retas em R^3 dadas por equações simétricas. O conteúdo aqui é representação paramétrica de retas, vetores diretores, condição de paralelismo (vetores proporcionais) e condição de intersecção (existência de solução comum).

Passo 2

Para cada reta, introduzimos um parâmetro e obtemos a forma paramétrica e o vetor diretor correspondente.
Para a reta r:
x-32=4-y=z-13=t
Logo:
x=2t+3, y=4-t, z=3t+1
Vetor diretor de r é vec vr=(2,-1,3).
Para a reta s:
x-14=3-y2=z-45=u
Logo:
x=4u+1, y=3-2u, z=5u+4
Vetor diretor de s é vec vs=(4,-2,5).

Passo 3

Verificamos paralelismo: duas retas são paralelas se seus vetores diretores são proporcionais. Aqui, para um escalar lambda teríamos
(4,-2,5)=lambda(2,-1,3)
Comparando componentes, 4=2lambda e -2=-1lambda dão lambda=2 em ambos, mas a terceira componente exigiria 5=3cdot2=6, o que não acontece. Portanto não são paralelas.

Passo 4

Verificamos se há interseção: resolvemos r(t)=s(u), ou seja:
2t+3=4u+1,
4-t=3-2u,
3t+1=5u+4
Das duas primeiras igualdades obtemos
t-2u=-1 e t-2u=1,
o que é impossível (não há t,u que satisfaçam simultaneamente). Logo não se intersectam.

Passo 5

Como as retas não são paralelas e não têm ponto em comum, elas são retas reversas (ou seja, não coplanares e sem interseção).

Resposta

As retas são reversas.

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