Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y)=e^x sin y i+e^x sin y j

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa descobrir se o campo vetorial F(x, y) = e^x sin y i + e^x sin y j é conservativo. Se for, também tem que encontrar uma função f tal que F = nabla f. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e condições de conservatividade de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial f tal que F = nabla f. Isso implica que o campo não depende do caminho seguido, apenas dos pontos inicial e final. Uma condição prática para verificar se um campo é conservativo, no caso de duas variáveis, é conferir se partial Ppartial y = partial Qpartial x, onde F = P i + Q j.

Passo 3

Vamos identificar P e Q no nosso campo:
P = e^x sin y e Q = e^x sin y
Agora, calculamos as derivadas parciais:
partial Ppartial y = e^x cos y
partial Qpartial x = e^x sin y
Comparando partial Ppartial y com partial Qpartial x, temos:
e^x cos y neq e^x sin y
Como partial Ppartial y neq partial Qpartial x, o campo F não é conservativo.

Resposta

O campo vetorial F(x, y) = e^x sin y i + e^x sin y j não é conservativo.

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