Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa descobrir se o campo vetorial
é conservativo. Se for, também tem que encontrar uma função
tal que
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e condições de conservatividade de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Isso implica que o campo não depende do caminho seguido, apenas dos pontos inicial e final. Uma condição prática para verificar se um campo é conservativo, no caso de duas variáveis, é conferir se
, onde
.
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Comparando
com
, temos:
Como
, o campo
não é conservativo.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo.