Considere os vetores u=lang<= 1,2, alpharang<=, v=lang<=-1,0,3rang<= e w=lang<=beta,-1,2rang<=. Sabendo que o volume do paralelepípedo formado por u, v e w é 30 e v bul<=t w=2, então um valor possível para alpha+beta é?
square - square 18 -25 $\square$30

Passo 1

O enunciado dá três vetores vec u=lang<=1,2,alpharang<=, vec v=lang<=-1,0,3rang<= e vec w=lang<=beta,-1,2rang<=, e pede um valor de alpha+beta sabendo que o volume do paralelepípedo formado por eles é 30 e que vec vcdotvec w=2. Vamos usar produto escalar para achar beta e produto misto (triplo produto) para relacionar alpha ao volume.

Passo 2

Para achar beta, usamos vec vcdotvec w=2. Como vec v=lang<=-1,0,3rang<= e vec w=lang<=beta,-1,2rang<=,
vec vcdotvec w = (-1),beta + 0cdot(-1) + 3cdot2 = -beta +6 = 2

Passo 3

Dessa equação tiramos
-beta +6 =2 Longrightarrow beta =4

Passo 4

Agora calculamos o triplo produto vec ucdot(vec vtimesvec w). Primeiro vec vtimesvec w:
vec vtimesvec w = i & j & k -1 & 0 & 3 beta & -1 & 2 = l(0cdot2 - 3cdot(-1),;3beta -(-1)cdot3,;-1cdot(-1) - 0cdotbetar) = (3,3beta+2,1)

Passo 5

Substituindo beta=4 fica vec vtimesvec w = (3,14,1). Então
vec ucdot(vec vtimesvec w) = lang<=1,2,alpharang<=cdotlang<=3,14,1rang<= = 1cdot3 + 2cdot14 + alphacdot1 = 3 +28 + alpha = 31 + alpha

Passo 6

O volume é o valor absoluto desse triplo produto, isto é |31+alpha|=30. Assim
31 + alpha = 30 Longrightarrow alpha = -1,
ou
31 + alpha = -30 Longrightarrow alpha = -61

Passo 7

Por fim, para cada solução de alpha o valor de alpha+beta é
alpha+beta = -1 + 4 = 3ou -61+4 = -57

Passo 8

O enunciado pede um valor possível, então podemos escolher 3.

Resposta

3

Exercícios relacionados