Seja
. Seja
dada por
é integrável em
? Por quê?
Passo 1
O enunciado define a função
em
por
se
e
. A questão é verificar se
é integrável em
. O conteúdo aqui é integrabilidade de Riemann em retângulos, e vamos precisar do critério que diz: uma função limitada em um retângulo é Riemann-integrável se e somente se o conjunto de pontos de descontinuidade tem medida zero.
Passo 2
Para
, temos
, então
é quociente de funções contínuas com denominador não nulo. Logo,
é contínua em todo ponto fora de
.
Passo 3
No ponto
, calculemos limites por direções diferentes. Pela reta
com
vem
. Já pela reta
com
vem
. Como esses dois limites são diferentes,
é descontinua em
.
Passo 4
Portanto o conjunto de descontinuidade de
é apenas o ponto
, que é um conjunto finito e, em particular, de medida zero no plano.
Passo 5
Pelo critério de integrabilidade de Riemann em retângulos, uma função limitada é integrável se o conjunto de pontos de descontinuidade tiver medida zero. Aqui
é claramente limitada (
) e o único ponto de descontinuidade forma um conjunto de medida zero. Assim,
é integrável em
.
Resposta
Sim. A função é limitada em
e só é descontinua em
, conjunto de medida zero, logo é Riemann-integrável em
.