Seja B=(x, y) in R^2 mid-1 <= x <= 1,-1 <= y <= 1. Seja f: B R dada por f(x, y)=llx^2x^2+y^2 & (x, y) neq(0,0) 1 & (x, y)=(0,0) f é integrável em B ? Por quê?

Passo 1

O enunciado define a função f:BtoR em B=[-1,1]times[-1,1] por f(x,y)=x^2x^2+y^2 se (x,y)neq(0,0) e f(0,0)=1. A questão é verificar se f é integrável em B. O conteúdo aqui é integrabilidade de Riemann em retângulos, e vamos precisar do critério que diz: uma função limitada em um retângulo é Riemann-integrável se e somente se o conjunto de pontos de descontinuidade tem medida zero.

Passo 2

Para (x0,y0)neq(0,0), temos x0^2+y0^2>0, então f(x,y)=x^2x^2+y^2 é quociente de funções contínuas com denominador não nulo. Logo, f é contínua em todo ponto fora de (0,0).

Passo 3

No ponto (0,0), calculemos limites por direções diferentes. Pela reta y=0 com xto0 vem f(x,0)=x^2x^2=1. Já pela reta x=0 com yto0 vem f(0,y)=0y^2=0. Como esses dois limites são diferentes, f é descontinua em (0,0).

Passo 4

Portanto o conjunto de descontinuidade de f é apenas o ponto (0,0), que é um conjunto finito e, em particular, de medida zero no plano.

Passo 5

Pelo critério de integrabilidade de Riemann em retângulos, uma função limitada é integrável se o conjunto de pontos de descontinuidade tiver medida zero. Aqui f é claramente limitada ( 0<= f<=1) e o único ponto de descontinuidade forma um conjunto de medida zero. Assim, f é integrável em B.

Resposta

Sim. A função é limitada em B e só é descontinua em (0,0), conjunto de medida zero, logo é Riemann-integrável em B.

Exercícios relacionados