Seja f: R^2 R^3 dada por f(u, v)=(x, y, z), onde lx=u y=v z=u^2+v^2
© Dê a matriz jacobiana da f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo multivariável! O enunciado nos dá uma função $ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} $ que mapeia um par f: R^2 R^3 para outro triplo (u, v), onde:
(x, y, z)
O que precisamos fazer é encontrar a matriz jacobiana dessa função. A matriz jacobiana é uma ferramenta que nos ajuda a entender como pequenas mudanças em x = u y = v z = u^2 + v^2 afetam (u, v). Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de cada componente da função em relação a (x, y, z) e u.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz jacobiana. Para uma função $ f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} $, a matriz jacobiana é uma matriz de tamanho $ m \times n $ onde cada entrada f: R^n R^m é a derivada parcial da m times n -ésima componente da função em relação à (i, j)-ésima variável. No nosso caso, i e j, então a matriz será n = 2.
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Para m = 3:
    • 3 times 2 (porque x = u muda diretamente com partial xpartial u = 1)
    • x (porque u não depende de partial xpartial v = 0)
  2. Para x:
    • v (porque y = v não depende de partial ypartial u = 0)
    • y (porque u muda diretamente com partial ypartial v = 1)
  3. Para y:
    • v (usando a regra da potência)
    • z = u^2 + v^2 (também pela regra da potência)

Resposta

A matriz jacobiana da função $ f $ é:
f

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