Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo multivariável! O enunciado nos dá uma função $ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} $ que mapeia um par f: R^2 R^3 para outro triplo (u, v), onde:
(x, y, z)
O que precisamos fazer é encontrar a matriz jacobiana dessa função. A matriz jacobiana é uma ferramenta que nos ajuda a entender como pequenas mudanças em x = u y = v z = u^2 + v^2 afetam (u, v). Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de cada componente da função em relação a (x, y, z) e u.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz jacobiana. Para uma função $ f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} $, a matriz jacobiana é uma matriz de tamanho $ m \times n $ onde cada entrada f: R^n R^m é a derivada parcial da m times n -ésima componente da função em relação à (i, j)-ésima variável. No nosso caso, i e j, então a matriz será n = 2.
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Para m = 3:
3 times 2 (porque x = u muda diretamente com partial xpartial u = 1)
x (porque u não depende de partial xpartial v = 0)
Para x:
v (porque y = v não depende de partial ypartial u = 0)
y (porque u muda diretamente com partial ypartial v = 1)