Considere as retas r e s como abaixo. r=\{(0,1,3)+t(1,-2,2) \mid t \in \mathbb{R}\} s=\{(1,1,1)+t(2,3,1) \mid t \in \mathbb{R}\}
Seja \Pi o plano que equidista de r e de s.
Qual é a equação de \Pi ? \bigcirc8 x-3 y-7 z=13 \bigcirc2 x+3 y+z=13 \bigcircx+2 y+2 z=13 \bigcirc8 x-3 y-7 z=-13 \bigcirc-8 x+3 y+7 z=10 \bigcirc2 x+3 y+z=12 \bigcirc-8 x+3 y+7 z=12
Passo 1
O enunciado dá duas retas em forma paramétrica:
r=\{(0,1,3)+t(1,-2,2)\mid t\in\mathbb{R}\}
s=\{(1,1,1)+t(2,3,1)\mid t\in\mathbb{R}\}
Pede-se a equação do plano \Pi que equidista de r e de s.
Informações relevantes dadas:
um ponto de r é A_r=(0,1,3) e o vetor diretor de r é v_r=(1,-2,2);
um ponto de s é A_s=(1,1,1) e o vetor diretor de s é v_s=(2,3,1).
O que se pergunta: a equação do plano \Pi tal que a distância (mínima) de \Pi até r é igual à distância de \Pi até s.
Passo 2
Primeiro conceito importante (aula rápida): a distância entre uma reta e um plano é nula se a reta intersecta o plano; se a reta é paralela ao plano, a distância entre eles é constante e dada por
\text{dist}(\text{reta},\\ \text{plano }(n\cdot X=d))=\frac{|n\cdot A - d|}{\|n\|},
onde A é qualquer ponto da reta e n é um vetor normal do plano.
Portanto, para um plano \Pi ser equidistante de r e s (com distância bem definida não nula), \Pi deve ser paralelo a ambas as retas, ou seja, seu vetor normal n deve ser ortogonal aos vetores diretores v_r e v_s:
n\cdot v_r = 0,\qquad n\cdot v_s = 0.
Isso implica que n é paralelo ao produto vetorial v_r\times v_s. Agora vamos calcular esse produto vetorial.
Seja o plano \Pi dado por n\cdot X = d. A distância de r a \Pi é |\alpha - d|/\|n\| e a distância de s a \Pi é |\beta - d|/\|n\|. Igualando as distâncias: