Considere as retas r e s como abaixo.
r=\{(0,1,3)+t(1,-2,2) \mid t \in \mathbb{R}\}
s=\{(1,1,1)+t(2,3,1) \mid t \in \mathbb{R}\}
Seja \Pi o plano que equidista de r e de s.
Qual é a equação de \Pi ?
\bigcirc 8 x-3 y-7 z=13
\bigcirc 2 x+3 y+z=13
\bigcirc x+2 y+2 z=13
\bigcirc 8 x-3 y-7 z=-13
\bigcirc -8 x+3 y+7 z=10
\bigcirc 2 x+3 y+z=12
\bigcirc -8 x+3 y+7 z=12

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma paramétrica:
r=\{(0,1,3)+t(1,-2,2)\mid t\in\mathbb{R}\}
s=\{(1,1,1)+t(2,3,1)\mid t\in\mathbb{R}\}
Pede-se a equação do plano \Pi que equidista de r e de s.
Informações relevantes dadas:
  • um ponto de r é A_r=(0,1,3) e o vetor diretor de r é v_r=(1,-2,2);
  • um ponto de s é A_s=(1,1,1) e o vetor diretor de s é v_s=(2,3,1).
    O que se pergunta: a equação do plano \Pi tal que a distância (mínima) de \Pi até r é igual à distância de \Pi até s.

Passo 2

Primeiro conceito importante (aula rápida): a distância entre uma reta e um plano é nula se a reta intersecta o plano; se a reta é paralela ao plano, a distância entre eles é constante e dada por
\text{dist}(\text{reta},\\ \text{plano }(n\cdot X=d))=\frac{|n\cdot A - d|}{\|n\|},
onde A é qualquer ponto da reta e n é um vetor normal do plano.
Portanto, para um plano \Pi ser equidistante de r e s (com distância bem definida não nula), \Pi deve ser paralelo a ambas as retas, ou seja, seu vetor normal n deve ser ortogonal aos vetores diretores v_r e v_s:
n\cdot v_r = 0,\qquad n\cdot v_s = 0.
Isso implica que n é paralelo ao produto vetorial v_r\times v_s. Agora vamos calcular esse produto vetorial.

Passo 3

Cálculo do produto vetorial passo a passo:
v_r=(1,-2,2),\qquad v_s=(2,3,1).
v_r\times v_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[2pt] 1 & -2 & 2\\[2pt] 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \big(-2\cdot1-2\cdot3,\;-(1\cdot1-2\cdot2),\;1\cdot3-(-2)\cdot2\big).
Calculando cada componente:
v_r\times v_s = (-2-6,\;-(1-4),\;3+4) = (-8,3,7).
Logo podemos tomar n=(-8,3,7) como normal do plano \Pi. Então a forma geral do plano é
-8x+3y+7z=d,
com d a constante a determinar.]

Passo 4

Agora usamos a fórmula da distância entre uma reta (paralela ao plano) e o plano. Para A_r=(0,1,3) e A_s=(1,1,1) calculemos as projeções escalares:
\alpha = n\cdot A_r = (-8,3,7)\cdot(0,1,3)=0+3+21=24,
\beta = n\cdot A_s = (-8,3,7)\cdot(1,1,1)=-8+3+7=2.
Seja o plano \Pi dado por n\cdot X = d. A distância de r a \Pi é |\alpha - d|/\|n\| e a distância de s a \Pi é |\beta - d|/\|n\|. Igualando as distâncias:
\frac{|\alpha-d|}{\|n\|}=\frac{|\beta-d|}{\|n\|} \quad\Longrightarrow\quad |\alpha-d|=|\beta-d|.
As soluções de |\alpha-d|=|\beta-d| são \alpha=\beta (não é o caso aqui, pois 24\neq2) ou
d=\frac{\alpha+\beta}{2}.
Portanto
d=\frac{24+2}{2}=13.

Passo 5

Substituindo d=13 na equação do plano com normal n=(-8,3,7), obtemos
-8x+3y+7z=13.
Para apresentar numa das formas das opções oferecidas, multiplicando ambos os lados por -1 obtemos a forma equivalente
8x-3y-7z=-13,
que aparece na lista de alternativas.

Resposta

8x-3y-7z=-13

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