Desenhe as curvas de nível, determine a imagem de
e estude seu sinal.
Passo 1
Enunciado: temos a função
. O que se pede:
- Desenhar as curvas de nível (ou seja, as curvas
para constantes ). - Determinar a imagem (conjunto de valores que
pode assumir). - Estudar o sinal de
(onde é positivo, nulo ou negativo).
Informações dadas:
- A expressão explícita de
é . - Não há restrição no domínio, portanto
.
Passo 2
O que é uma curva de nível (explicação didática)?\n
Uma curva de nível para uma constante é o conjunto de pontos
que satisfazem
Uma curva de nível para uma constante
No nosso caso isso significa resolver
Vamos analisar caso a caso segundo o valor de
.
Passo 3
Caso
:\n
Como e
para todo
, a soma
também é
. Logo não existe
que torne
se
. Conclusão: para
a curva de nível é o conjunto vazio.
Como
Passo 4
Caso
:\n
Temos
Temos
Como os termos são quadrados não-negativos, a soma ser zero implica
e
. Portanto
e
. Conclusão: para
a curva de nível é o ponto
.
Passo 5
Caso
:\n
Reescrevemos a equação numa forma padrão de elipse dividindo por :
Reescrevemos a equação numa forma padrão de elipse dividindo por
Isto é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo horizontal (no eixo
)
e semi-eixo vertical (no eixo
)
Interceptos com os eixos:
e
.\n
Parametrização conveniente (para desenhar) é, para ,
Parametrização conveniente (para desenhar) é, para
que percorre a elipse.
Passo 6
Observações práticas para desenhar (passo a passo, estilo prova):\n
- Escolha alguns valores de
, por exemplo .\n - Para
: semi-eixos , (elipse achatada horizontalmente).\n - Para
: semi-eixos , (elipse maior).\n - Para
as elipses encolhem até o ponto .\n - Para
as elipses expandem-se indefinidamente.\n
Assim, o desenho consiste em elipses concêntricas (mesmo centro), cada uma com razão entre semi-eixos fixa ().
Passo 7
Determinar a imagem de
(explicação e prova):\n
Sabemos que para todo vale
e
, então
Sabemos que para todo
O valor
é atingido em
. Para qualquer
podemos escolher, por exemplo,
e obter
. Logo todos os reais não-negativos são atingidos. Conclusão: a imagem (contraposta) de
é
Passo 8
Estudo do sinal (onde é positivo, nulo ou negativo):\n
- Negativo: não existe
tal que , porque soma de quadrados com coeficientes positivos não pode ser negativa.\n - Nulo:
somente quando e , ou seja no ponto .\n - Positivo: para todo
temos . Portanto é estritamente positiva em .\n
Intuição: é uma forma quadrática definida positiva (coeficientes positivos nas direções coordenadas), por isso só zera na origem e é positiva fora dela.
Resposta
Curvas de nível: para
nenhum ponto (vazio); para
o ponto
; para
elipses centradas na origem dadas por
, com semi-eixos
e
.\n
Imagem: .\n
Sinal: não ocorre;
somente em
;
para todo
.
Imagem:
Sinal: