Desenhe as curvas de nível, determine a imagem de \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) e estude seu sinal.
f(x, y)=3 x^{2}+y^{2}

Passo 1

Enunciado: temos a função f(x,y)=3x^{2}+y^{2}. O que se pede:
  1. Desenhar as curvas de nível (ou seja, as curvas f(x,y)=c para constantes c).
  2. Determinar a imagem (conjunto de valores que f pode assumir).
  3. Estudar o sinal de f (onde é positivo, nulo ou negativo).
Informações dadas:
  • A expressão explícita de f é 3x^{2}+y^{2}.
  • Não há restrição no domínio, portanto (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.

Passo 2

O que é uma curva de nível (explicação didática)?\n
Uma curva de nível para uma constante c é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem
f(x,y)=c.
No nosso caso isso significa resolver
3x^{2}+y^{2}=c.
Vamos analisar caso a caso segundo o valor de c.

Passo 3

Caso c<0:\n
Como x^{2}\ge 0 e y^{2}\ge 0 para todo x,y, a soma 3x^{2}+y^{2} também é \ge 0. Logo não existe (x,y) que torne 3x^{2}+y^{2}=c se c<0. Conclusão: para c<0 a curva de nível é o conjunto vazio.

Passo 4

Caso c=0:\n
Temos
3x^{2}+y^{2}=0.
Como os termos são quadrados não-negativos, a soma ser zero implica x^{2}=0 e y^{2}=0. Portanto x=0 e y=0. Conclusão: para c=0 a curva de nível é o ponto (0,0).

Passo 5

Caso c>0:\n
Reescrevemos a equação numa forma padrão de elipse dividindo por c:
\frac{3x^{2}}{c}+\frac{y^{2}}{c}=1\quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{c/3}+\frac{y^{2}}{c}=1.
Isto é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo horizontal (no eixo x)
a_x=\sqrt{\frac{c}{3}}
e semi-eixo vertical (no eixo y)
a_y=\sqrt{c}.
Interceptos com os eixos: (\pm\sqrt{c/3},0) e (0,\pm\sqrt{c}).\n
Parametrização conveniente (para desenhar) é, para t\in[0,2\pi),
x(t)=\sqrt{\frac{c}{3}}\cos t,\qquad y(t)=\sqrt{c}\sin t,
que percorre a elipse.

Passo 6

Observações práticas para desenhar (passo a passo, estilo prova):\n
  • Escolha alguns valores de c>0, por exemplo c=1,\,3,\,6.\n
  • Para c=1: semi-eixos a_x=\sqrt{\tfrac{1}{3}}, a_y=1 (elipse achatada horizontalmente).\n
  • Para c=3: semi-eixos a_x=1, a_y=\sqrt{3} (elipse maior).\n
  • Para c\to 0^{+} as elipses encolhem até o ponto (0,0).\n
  • Para c\to\infty as elipses expandem-se indefinidamente.\n
    Assim, o desenho consiste em elipses concêntricas (mesmo centro), cada uma com razão entre semi-eixos fixa ( a_y/a_x=\sqrt{3}).

Passo 7

Determinar a imagem de f (explicação e prova):\n
Sabemos que para todo (x,y) vale 3x^{2}\ge 0 e y^{2}\ge 0, então
f(x,y)=3x^{2}+y^{2}\ge 0.
O valor 0 é atingido em (0,0). Para qualquer M>0 podemos escolher, por exemplo, (x,y)=(\sqrt{M/3},0) e obter f(x,y)=M. Logo todos os reais não-negativos são atingidos. Conclusão: a imagem (contraposta) de f é
\mathrm{Im}(f)=[0,\infty).

Passo 8

Estudo do sinal (onde é positivo, nulo ou negativo):\n
  • Negativo: não existe (x,y) tal que f(x,y)<0, porque soma de quadrados com coeficientes positivos não pode ser negativa.\n
  • Nulo: f(x,y)=0 somente quando x=0 e y=0, ou seja no ponto (0,0).\n
  • Positivo: para todo (x,y)\neq(0,0) temos 3x^{2}+y^{2}>0. Portanto f é estritamente positiva em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.\n
    Intuição: é uma forma quadrática definida positiva (coeficientes positivos nas direções coordenadas), por isso só zera na origem e é positiva fora dela.

Resposta

Curvas de nível: para c<0 nenhum ponto (vazio); para c=0 o ponto (0,0); para c>0 elipses centradas na origem dadas por \displaystyle \frac{x^{2}}{c/3}+\frac{y^{2}}{c}=1, com semi-eixos a_x=\sqrt{c/3} e a_y=\sqrt{c}.\n
Imagem: [0,\infty).\n
Sinal: f(x,y)<0 não ocorre; f(x,y)=0 somente em (0,0); f(x,y)>0 para todo (x,y)\neq(0,0).

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