Exercício 01: Mostre que o conjunto de pontos do \mathbb{R}^{2} que possuem a propriedade \sigma(t)=\left(x_{0}+\operatorname{acos}(t) ; y_{0}+\operatorname{asen}(t)\right) satisfazem a equação geral \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=a^{2}.
Exercício 01: Mostre que o conjunto de pontos do \mathbb{R}^{2} que possuem a propriedade \sigma(t)=\left(x_{0}+a \cos (t) ; y_{0}+a \operatorname{sen}(t)\right) satisfazem a equação geral \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=a^{2}.

Passo 1

O enunciado dá uma família de pontos do plano com coordenadas parametrizadas por t:
\sigma(t)=\bigl(x_{0}+a\cos(t)\;;\;y_{0}+a\sin(t)\bigr).
Itens dados explicitamente:
  • x_{0} e y_{0} são constantes que deslocam o ponto no plano (parecem os componentes do centro).
  • a é uma constante (parece o “tamanho” do deslocamento).
  • t é o parâmetro (variando em \mathbb{R}).
    O que a questão pede: mostrar que todo ponto da forma \sigma(t) satisfaz a equação
\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=a^{2}.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente as coordenadas x e y de um ponto genérico da curva parametrizada. Se um ponto pertence à imagem de \sigma, então existe t tal que
x = x_{0} + a\cos(t)
e
y = y_{0} + a\sin(t).
Aqui eu estou apenas nomeando as coordenadas do ponto parametrizado: x e y são as componentes em \mathbb{R}^{2}.

Passo 3

Subtraio o centro (x_{0},y_{0}) das coordenadas para isolar as partes trigonométricas:
x - x_{0} = a\cos(t)
y - y_{0} = a\sin(t).
Isto é direto da definição da parametrização: movemos o centro e somamos os deslocamentos a\cos(t) e a\sin(t).

Passo 4

Agora vamos elevar cada uma dessas expressões ao quadrado. Isso é uma técnica padrão: ao somar os quadrados das diferenças horizontais e verticais, frequentemente aparece a identidade pitagórica trigonométrica.
(x - x_{0})^{2} = a^{2}\cos^{2}(t)
(y - y_{0})^{2} = a^{2}\sin^{2}(t).
Expliquei cada passo: ao quadrar a\cos(t) obtemos a^{2}\cos^{2}(t), da mesma forma para o seno.

Passo 5

Somando as duas igualdades obtidas:
(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = a^{2}\cos^{2}(t) + a^{2}\sin^{2}(t).
Agrupando o fator comum a^{2}:
(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = a^{2}\bigl(\cos^{2}(t) + \sin^{2}(t)\bigr).

Passo 6

Usamos a identidade trigonométrica básica (a identidade pitagórica):
\cos^{2}(t) + \sin^{2}(t) = 1
para todo t. Justificativa curta: essa identidade vem da definição de seno e cosseno sobre o círculo unitário ou da relação pitagórica para a projeção dos catetos sobre a hipotenusa unitária. Aplicando essa identidade na expressão anterior:
(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = a^{2}\cdot 1 = a^{2}.

Passo 7

Concluímos que todo ponto \bigl(x,y\bigr) da forma \sigma(t) satisfaz
\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=a^{2}.
Interpretando geometricamente: os pontos \sigma(t) estão todos à distância |a| do ponto \bigl(x_{0},y_{0}\bigr), ou seja, formam um círculo de centro \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) e raio |a|. (Se a\ge 0 então o raio é a.)

Resposta

\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=a^{2}

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