Exercício 01: Mostre que o conjunto de pontos do
que possuem a propriedade
satisfazem a equação geral
.
Exercício 01: Mostre que o conjunto de pontos do
que possuem a propriedade
satisfazem a equação geral
.
Passo 1
O enunciado dá uma família de pontos do plano com coordenadas parametrizadas por
:
Itens dados explicitamente:
-
e são constantes que deslocam o ponto no plano (parecem os componentes do centro). -
é uma constante (parece o “tamanho” do deslocamento). -
é o parâmetro (variando em ).
O que a questão pede: mostrar que todo ponto da formasatisfaz a equação
Passo 2
Vamos escrever explicitamente as coordenadas
e
de um ponto genérico da curva parametrizada. Se um ponto pertence à imagem de
, então existe
tal que
e
Aqui eu estou apenas nomeando as coordenadas do ponto parametrizado:
e
são as componentes em
.
Passo 3
Subtraio o centro
das coordenadas para isolar as partes trigonométricas:
Isto é direto da definição da parametrização: movemos o centro e somamos os deslocamentos
e
.
Passo 4
Agora vamos elevar cada uma dessas expressões ao quadrado. Isso é uma técnica padrão: ao somar os quadrados das diferenças horizontais e verticais, frequentemente aparece a identidade pitagórica trigonométrica.
Expliquei cada passo: ao quadrar
obtemos
, da mesma forma para o seno.
Passo 5
Somando as duas igualdades obtidas:
Agrupando o fator comum
:
Passo 6
Usamos a identidade trigonométrica básica (a identidade pitagórica):
para todo
. Justificativa curta: essa identidade vem da definição de seno e cosseno sobre o círculo unitário ou da relação pitagórica para a projeção dos catetos sobre a hipotenusa unitária. Aplicando essa identidade na expressão anterior:
Passo 7
Concluímos que todo ponto
da forma
satisfaz
Interpretando geometricamente: os pontos
estão todos à distância
do ponto
, ou seja, formam um círculo de centro
e raio
. (Se
então o raio é
.)