e pede duas coisas: determinar se a série é convergente ou divergente e, se for convergente, encontrar sua soma. Informação útil que já aparece no enunciado: o termo geral é \frac{4}{3}\left(\frac{5}{7}\right)^{n} para n=1,2,3,\dots. Não vou resolver ainda; só anotei o que foi pedido e o que foi dado.
Passo 2
Vamos aprender um pouco sobre séries geométricas (passo didático). Uma série geométrica tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n},
onde a é o primeiro termo da sequência de soma e r é a razão (um número real). A propriedade central é: se |r|<1, a série converge e sua soma é
\frac{a}{1-r}.
Explicando por que: considere a soma parcial até N,
S_N = \sum_{n=0}^{N} a r^{n} = a + ar + ar^{2} + \cdots + ar^{N}.
Multiplicando por r e subtraindo obtém-se
rS_N = ar + ar^{2} + \cdots + ar^{N+1},
logo
S_N - rS_N = a - ar^{N+1}.
Fatorando,
S_N(1-r) = a(1-r^{N+1}),
portanto
S_N = \frac{a(1-r^{N+1})}{1-r}.
Se |r|<1, então r^{N+1}\to 0 quando N\to\infty, e assim
\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n} = \lim_{N\to\infty} S_N = \frac{a}{1-r}.
Se |r|\ge 1, a soma parcial não converge (ou diverge para infinito ou oscila), então a série diverge.
Passo 3
Agora adaptamos essa ideia para a série que temos. Primeiro fatoramos a constante \frac{4}{3} que multiplica cada termo:
A soma interior é quase uma série geométrica no formato que vimos. Note que a série geométrica padrão começa em n=0, mas podemos usar a fórmula igualmente bem: se \sum_{n=0}^{\infty} r^{n} = \frac{1}{1-r} para |r|<1, então
Conclusão final: a série é convergente (porque a razão \frac{5}{7} tem módulo menor que 1) e sua soma é \frac{10}{3}. Tá feito — respira fundo, você já tem mais uma tipo de série dominada. 😃