Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{3}\left(\frac{5}{7}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{3}\left(\frac{5}{7}\right)^{n}
e pede duas coisas: determinar se a série é convergente ou divergente e, se for convergente, encontrar sua soma. Informação útil que já aparece no enunciado: o termo geral é \frac{4}{3}\left(\frac{5}{7}\right)^{n} para n=1,2,3,\dots. Não vou resolver ainda; só anotei o que foi pedido e o que foi dado.

Passo 2

Vamos aprender um pouco sobre séries geométricas (passo didático). Uma série geométrica tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n},
onde a é o primeiro termo da sequência de soma e r é a razão (um número real). A propriedade central é: se |r|<1, a série converge e sua soma é
\frac{a}{1-r}.
Explicando por que: considere a soma parcial até N,
S_N = \sum_{n=0}^{N} a r^{n} = a + ar + ar^{2} + \cdots + ar^{N}.
Multiplicando por r e subtraindo obtém-se
rS_N = ar + ar^{2} + \cdots + ar^{N+1},
logo
S_N - rS_N = a - ar^{N+1}.
Fatorando,
S_N(1-r) = a(1-r^{N+1}),
portanto
S_N = \frac{a(1-r^{N+1})}{1-r}.
Se |r|<1, então r^{N+1}\to 0 quando N\to\infty, e assim
\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n} = \lim_{N\to\infty} S_N = \frac{a}{1-r}.
Se |r|\ge 1, a soma parcial não converge (ou diverge para infinito ou oscila), então a série diverge.

Passo 3

Agora adaptamos essa ideia para a série que temos. Primeiro fatoramos a constante \frac{4}{3} que multiplica cada termo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{3}\left(\frac{5}{7}\right)^{n} = \frac{4}{3}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{7}\right)^{n}.
A soma interior é quase uma série geométrica no formato que vimos. Note que a série geométrica padrão começa em n=0, mas podemos usar a fórmula igualmente bem: se \sum_{n=0}^{\infty} r^{n} = \frac{1}{1-r} para |r|<1, então
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} r^{n} - r^{0} = \frac{1}{1-r} - 1 = \frac{r}{1-r}.
Portanto, para \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} a soma é \dfrac{r}{1-r} quando |r|<1.

Passo 4

Identificamos aqui r=\dfrac{5}{7}. Verificamos a condição de convergência:
\left|\frac{5}{7}\right| = \frac{5}{7}<1.
Como |r|<1, a série geométrica converge e podemos aplicar a fórmula do passo anterior.

Passo 5

Calculemos a soma passo a passo. Usando a expressão obtida:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{7}\right)^{n} = \frac{\frac{5}{7}}{1-\frac{5}{7}}.
Calculando o denominador:
1-\frac{5}{7} = \frac{2}{7}.
Então
\frac{\frac{5}{7}}{\frac{2}{7}} = \frac{5}{2}.
Agora retornamos ao fator \frac{4}{3}:
\frac{4}{3}\cdot \frac{5}{2} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}.

Passo 6

Conclusão final: a série é convergente (porque a razão \frac{5}{7} tem módulo menor que 1) e sua soma é \frac{10}{3}. Tá feito — respira fundo, você já tem mais uma tipo de série dominada. 😃

Resposta

Convergente
\frac{10}{3}

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