Considere as retas
\begin{aligned} & r:(x, y, z)=(0,-1,0)+t(2,0,1), t \in \mathbb{R} \\\ & s:(x, y, z)=(3,1,5)+\lambda(1,0,2), \lambda \in \mathbb{R} \end{aligned}
a) Mostre que r e s são retas reversas e calcule d(r, s).
b) Determine o par de planos paralelos \pi_{1} e \pi_{2} tais que: r \subset \pi_{1} e s \subset \pi_{2}.
c) Determine os pontos P \in r e Q \in s tais que a reta P Q é paralela à reta
r_{1}:(x, y, z)=(2,-1,1)+\alpha(1,-2,0), \alpha \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3:
r:(x,y,z)=(0,-1,0)+t\,(2,0,1),\;t\in\mathbb{R},
s:(x,y,z)=(3,1,5)+\lambda\,(1,0,2),\;\lambda\in\mathbb{R}.
Pede em (a) mostrar que são retas reversas (isto é, nem paralelas nem concorrentes) e calcular a distância d(r,s);
em (b) achar um par de planos paralelos \pi_1 e \pi_2 com r\subset\pi_1 e s\subset\pi_2;
e em (c) achar pontos P\in r e Q\in s tais que a reta PQ seja paralela a
r_1:(x,y,z)=(2,-1,1)+\alpha\,(1,-2,0).
Vamos usar vetores diretores, produto vetorial, fórmula da distância entre retas reversas, e condição de paralelismo de vetores.

Passo 2

Mostramos que r e s não são paralelas nem se intersectam.
Os vetores diretores são
v_r=(2,0,1),\quad v_s=(1,0,2).
Como v_r não é múltiplo escalar de v_s, as retas não são paralelas.
Para ver que não se cruzam, igualamos pontos genéricos
(2t,\,-1,\,t)=(3+\lambda,\,1,\,5+2\lambda).
Da segunda componente vem -1=1, impossível. Logo são retas reversas.

Passo 3

A distância entre retas reversas é
d(r,s) =\frac{\bigl|(P_{s}-P_{r})\cdot (v_r\times v_s)\bigr|}{\|v_r\times v_s\|},
onde P_r=(0,-1,0) e P_s=(3,1,5).
Calculemos o produto vetorial:
v_r\times v_s =(2,0,1)\times(1,0,2) =(0,-3,0),
\|v_r\times v_s\|=3.
O vetor de posição entre pontos-base é
P_s-P_r=(3,1,5)-(0,-1,0)=(3,2,5),
e
(3,2,5)\cdot(0,-3,0)=-6,
logo
d(r,s)=\frac{|-6|}{3}=2.

Passo 4

Para construir planos paralelos que contenham r e s, escolhemos como normal o mesmo vetor
n=v_r\times v_s=(0,-3,0).
A equação geral é 0\cdot x-3\,y+0\cdot z+d=0, ou seja y=\text{constante}.
Como r tem y=-1, no plano \pi_1 deve valer -3(-1)+d_1=0\Rightarrow d_1=-3. Assim
\pi_{1}: -3y-3=0\quad\Leftrightarrow\quad y=-1.
Como s tem y=1, no plano \pi_2 vem -3(1)+d_2=0\Rightarrow d_2=3. Logo
\pi_{2}: -3y+3=0\quad\Leftrightarrow\quad y=1.
Esses planos são paralelos e respectivamente contêm r e s.

Passo 5

Queremos P\in r e Q\in s tais que \overrightarrow{PQ} seja paralelo a r_1 de direção (1,-2,0).
Escrevamos
P=(2t,\,-1,\,t),\quad Q=(3+\lambda,\,1,\,5+2\lambda).
Então
\overrightarrow{PQ} =(3+\lambda-2t,\;2,\;5+2\lambda-t).
Para ser paralelo a (1,-2,0) existe k com
(3+\lambda-2t,\,2,\,5+2\lambda-t) =k\,(1,-2,0).
Da componente y vem 2=k(-2)\Rightarrow k=-1.
Da componente x: 3+\lambda-2t=-1\Rightarrow\lambda-2t=-4.
Da componente z: 5+2\lambda-t=0.
Resolvendo
\lambda=2t-4, \quad 5+2(2t-4)-t=0 \;\Longrightarrow\; 5+4t-8-t=0 \;\Longrightarrow\; 3t=3 \;\Rightarrow\; t=1,
\lambda=2-4=-2.
Portanto
P=(2\cdot1,-1,1)=(2,-1,1), \quad Q=(3-2,\,1,\,5-4)=(1,1,1).

Resposta

a) São retas reversas e d(r,s)=2.
b) \pi_{1}:y=-1 contém r e \pi_{2}:y=1 contém s.
c) P=(2,-1,1) e Q=(1,1,1).

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