Considere o ponto A=(1,-1,1). Determine o ponto B da reta
r:(x, y, z)=(0,-1,0)+t(2,0,1), t \in \mathbb{R}
tal que d(A, B)=d(A, r).

Passo 1

O enunciado dá o ponto
A=(1,-1,1)
e a reta
r:\,(x,y,z)=(0,-1,0)+t\,(2,0,1),\quad t\in\mathbb{R}.
Queremos o ponto B em r tal que
d(A,B)=d(A,r),
isto é, o pé da perpendicular de A sobre r. Vamos usar projeção de vetor para achar esse ponto.

Passo 2

Seja
P=(0,-1,0)\quad\text{e}\quad v=(2,0,1)
o ponto e o vetor diretor de r. Um ponto genérico de r é
B(t)=P+t\,v=(0,-1,0)+t\,(2,0,1).

Passo 3

Na projeção de A-P sobre v, o parâmetro t do pé da perpendicular satisfaz
t=\frac{v\cdot(A-P)}{v\cdot v}.
Isso garante que o vetor B(t)-A é ortogonal a v e minimiza a distância.

Passo 4

Calculamos
A-P=(1,-1,1)-(0,-1,0)=(1,0,1),
v\cdot v=2^2+0^2+1^2=5,
v\cdot(A-P)=2\cdot1+0\cdot0+1\cdot1=3.
Logo
t=\frac{3}{5}.

Passo 5

Substituindo t=\tfrac{3}{5} em B(t), obtemos
B=B\Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr) =(0,-1,0)+\frac{3}{5}\,(2,0,1) =\Bigl(\tfrac{6}{5},-1,\tfrac{3}{5}\Bigr).

Resposta

B=\Bigl(\tfrac{6}{5},-1,\tfrac{3}{5}\Bigr).

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