Considere o triângulo de vértices A=(1,-1,1), B=(2,1,-2) e C=(0,1,1). Em cada item a seguir, dê equações paramétricas para uma reta r nas condições mencionadas.
r e r_{A B} são paralelas e d\left(r, r_{A B}\right)=1.

Passo 1

O enunciado pede uma reta r paralela a r_{AB} (a reta que passa por A e B) e cuja distância a r_{AB} seja igual a 1. O conteúdo aqui é geometria no espaço: para duas retas paralelas, a distância entre elas é a distância de qualquer ponto de uma reta à outra reta. Vamos precisar de um vetor diretor de r_{AB}, de um vetor unitário perpendicular a esse diretor, e escolher um ponto deslocado desse modo.

Passo 2

Calculamos o vetor diretor de r_{AB} e seu comprimento.
\mathbf d = B - A = (2-1,\;1-(-1),\;-2-1) = (1,2,-3),
\|\mathbf d\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{14}.

Passo 3

Procuramos um vetor \mathbf v tal que \mathbf v \cdot \mathbf d = 0 e \|\mathbf v\|=1. Por exemplo, o vetor (2,-1,0) é ortogonal a (1,2,-3) porque
(2,-1,0)\cdot(1,2,-3) = 2 - 2 + 0 = 0.
Para torná-lo unitário, definimos
\mathbf v = \frac{1}{\sqrt{5}}\,(2,-1,0),
de modo que \|\mathbf v\|=1 e \mathbf v\perp\mathbf d.

Passo 4

Escolhemos o ponto P deslocando A por \mathbf v:
P = A + \mathbf v = \Bigl(1+\tfrac{2}{\sqrt5},\;-1-\tfrac{1}{\sqrt5},\;1\Bigr).
Definimos então r como a reta que passa por P e tem direção \mathbf d.

Passo 5

Verificamos que a distância entre r e r_{AB} é
\frac{\|\overrightarrow{AP}\times\mathbf d\|}{\|\mathbf d\|} =\frac{\|\mathbf v\times\mathbf d\|}{\|\mathbf d\|} =\frac{\|\mathbf v\|\;\|\mathbf d\|}{\|\mathbf d\|} =1.

Resposta

A equação paramétrica de r\) pode ser escrita por \[r:\quad \begin{cases} x = 1 + \dfrac{2}{\sqrt5} + t,\\\ y = -1 - \dfrac{1}{\sqrt5} + 2t,\\\ z = 1 - 3t, \end{cases} \quad t\in\mathbb R,
que é paralela a r_{AB}\] e satisfaz \(d(r,r_{AB})=1.

Exercícios relacionados