Projete o ponto P=(2,1,-1) sobre o plano \pi: 2 x+y-z=1 paralelamente à reta r:(x, y, z)=(1,0,1)+t(2,1,-1), t \in \mathbb{R}. (Ou seja, obtenha o ponto Q \in \pi que é a intersecção de \pi com a reta que passa por P e é paralela a r).

Passo 1

O enunciado pede a projeção de P=(2,1,-1) sobre o plano
\pi:2x+y-z=1
seguindo a direção paralela à reta
r:\;(x,y,z)=(1,0,1)+t\,(2,1,-1).
O conteúdo é geometria analítica no espaço: para projetar P paralelamente a um vetor \mathbf v, basta traçar a reta por P na direção de \mathbf v e intersectá-la com \pi.

Passo 2

O vetor diretor de r é \mathbf v=(2,1,-1). Assim a reta que passa por P e é paralela a r tem equação paramétrica
L:\;(x,y,z)=(2,1,-1)+t\,(2,1,-1).

Passo 3

Seja Q=(2+2t,\;1+t,\;-1-t) um ponto genérico de L. Para Q\in\pi precisamos de
2(2+2t)+(1+t)-\bigl(-1-t\bigr)=1.
Calculando o lado esquerdo,
4+4t+1+t+1+t=6+6t,
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6+6t=1\quad\Longrightarrow\quad6t=-5\quad\Longrightarrow\quad t=-\tfrac{5}{6}.

Passo 4

Substituindo t=-\tfrac{5}{6} em Q=(2+2t,\;1+t,\;-1-t) obtemos
Q=\Bigl(2-\tfrac{10}{6},\;1-\tfrac{5}{6},\;-1+\tfrac{5}{6}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{1}{3},\;\tfrac{1}{6},\;-\tfrac{1}{6}\Bigr).

Resposta

Q=\Bigl(\tfrac{1}{3},\;\tfrac{1}{6},\;-\tfrac{1}{6}\Bigr).

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