Considere as retas L1 e L2 cujas equações simétricas são
L1: x-12=y+321=z+12 L2: x-4-1=y-3-2=z+42
(a) L1 e L2 são paralelas? perpendiculares?
(b) Obtenha equações paramétricas para L1 e L2.
(c) L1 e L2 intersectam? Caso afirmativo, em que ponto?

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3 na forma simétrica e pede: (a) verificar se são paralelas ou perpendiculares; (b) escrever equações paramétricas; (c) checar se se intersectam e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção. Para isso vamos extrair o vetor diretor e um ponto de cada reta.

Passo 2

Da reta
L1: x-12=y+321=z+12
vemos que um ponto em L1 é
P1 = l(1,,-tfrac32,,-1r)
e o vetor diretor é
v1 = (2,,1,,2)
Da reta
L2: x-4-1=y-3-2=z+42
vemos que um ponto em L2 é
P2 = (4,,3,,-4)
e o vetor diretor é
v2 = (-1,,-2,,2)

Passo 3

Para ver se são paralelas, checamos se existe escalar k tal que v1 = k,v2. Comparando componentes, não há k que simultaneamente satisfaça todas as igualdades, logo não são paralelas.
Para ver se são perpendiculares, calculamos o produto interno:
v1cdotv2 =2cdot(-1)+1cdot(-2)+2cdot2 = -2-2+4 = 0
Como o produto interno é zero, L1 e L2 são perpendiculares.

Passo 4

Vamos escrever as equações paramétricas.
Para L1, tomamos parâmetro t:
x = 1 + 2t, y = -tfrac32 + t, z = -1 + 2t
Para L2, tomamos parâmetro s:
x = 4 - s, y = 3 - 2s, z = -4 + 2s

Passo 5

Procuramos
Da terceira equação obtemos . Substituindo na primeira:
Verificando na segunda equação, obtemos , consistente.
Para em :
Logo há interseção em .

Resposta

(a) Não são paralelas; são perpendiculares.
(b)
L1:;x=1+2t,;y=-tfrac32+t,;z=-1+2t, L2:;x=4-s,;y=3-2s,;z=-4+2s
(c) Intersectam-se no ponto ,(2,,-1,,0).

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