Considere as retas
e
cujas equações simétricas são
(a)
e
são paralelas? perpendiculares?
(b) Obtenha equações paramétricas para
e
.
(c)
e
intersectam? Caso afirmativo, em que ponto?
(b) Obtenha equações paramétricas para
(c)
Passo 1
O enunciado dá duas retas em
na forma simétrica e pede: (a) verificar se são paralelas ou perpendiculares; (b) escrever equações paramétricas; (c) checar se se intersectam e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção. Para isso vamos extrair o vetor diretor e um ponto de cada reta.
Passo 2
Da reta
vemos que um ponto em
é
e o vetor diretor é
Da reta
vemos que um ponto em
é
e o vetor diretor é
Passo 3
Para ver se são paralelas, checamos se existe escalar
tal que
. Comparando componentes, não há
que simultaneamente satisfaça todas as igualdades, logo não são paralelas.
Para ver se são perpendiculares, calculamos o produto interno:
Para ver se são perpendiculares, calculamos o produto interno:
Como o produto interno é zero,
e
são perpendiculares.
Passo 4
Vamos escrever as equações paramétricas.
Para , tomamos parâmetro
:
Para
Para
, tomamos parâmetro
:
Passo 5
Procuramos
Da terceira equação obtemos . Substituindo na primeira:
Verificando na segunda equação, obtemos
, consistente.
Para em
:
Para
Logo há interseção em
.
Resposta
(a) Não são paralelas; são perpendiculares.
(b)
(b)
(c) Intersectam-se no ponto
.