Questão-22. Prove que

tg 81^circ-tg 63^circ-tg 27^circ+tg 9^circ=4

Passo 1

O que queremos provar é a identidade envolvendo tangentes de ângulos diferentes:
tg81^circ-tg63^circ-tg27^circ+tg9^circ=4
O conteúdo principal é usar a fórmula de diferença de tangentes
tgA-tgB=sin(A-B)cos A,cos B
e depois aplicar identidades de produto em soma para simplificar.

Passo 2

Escrevendo os dois pares de termos com a fórmula de diferença de tangentes, temos
tg81^circ-tg63^circ =sin(81^circ-63^circ)cos81^circ,cos63^circ =sin18^circcos81^circ,cos63^circ,
e
tg9^circ-tg27^circ =sin(9^circ-27^circ)cos9^circ,cos27^circ =sin(-18^circ)cos9^circ,cos27^circ =-sin18^circcos9^circ,cos27^circ

Passo 3

Agrupando a soma original como
l(tg81^circ-tg63^circr) +l(tg9^circ-tg27^circr)
e substituindo os resultados do passo anterior, obtemos
tg81^circ-tg63^circ-tg27^circ+tg9^circ =sin18^circ!l(1cos81^circ,cos63^circ -1cos9^circ,cos27^circr)

Passo 4

Usando as relações de cofunção cos81^circ=sin9^circ e cos63^circ=sin27^circ, a expressão dentro dos parênteses vira
1sin9^circ,sin27^circ -1cos9^circ,cos27^circ =cos9^circ,cos27^circ-sin9^circ,sin27^circ sin9^circ,sin27^circ,cos9^circ,cos27^circ =cos(9^circ+27^circ)sin9^circ,sin27^circ,cos9^circ,cos27^circ =cos36^circsin9^circ,sin27^circ,cos9^circ,cos27^circ

Passo 5

Portanto
tg81^circ-tg63^circ-tg27^circ+tg9^circ =sin18^circ;cos36^circsin9^circ,sin27^circ,cos9^circ,cos27^circ

Passo 6

Agora usamos produtos em soma:
sin9^circ,cos9^circ=tfrac12sin18^circ, sin27^circ,cos27^circ=tfrac12sin54^circ
Logo
sin9^circ,sin27^circ,cos9^circ,cos27^circ =l(tfrac12sin18^circr)l(tfrac12sin54^circr) =tfrac14,sin18^circ,sin54^circ

Passo 7

Substituindo nesse denominador, temos
tg81^circ-tg63^circ-tg27^circ+tg9^circ =sin18^circ;cos36^circtfrac14,sin18^circ,sin54^circ =4;cos36^circsin54^circ
Mas sin54^circ=cos36^circ, de modo que o quociente vale 1. Logo a expressão toda vale 4.

Resposta

tg81^circ-tg63^circ-tg27^circ+tg9^circ=4

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