onde A=(5,1,2), B=(9,0,1), C=(4,1,3) e D=(-2,2,6). Mostre que as retas possuem apenas um ponto P em comum. Esse ponto P pertence ao segmento A B e/ou ao segmento C D ?
Passo 1
O enunciado nos dá duas retas em R^3:
ell:;X=A+t,AB,;tinR, r:;X=C+s,CD,;sinR,
com
A=(5,1,2),;B=(9,0,1),; C=(4,1,3),;D=(-2,2,6)
Queremos achar se existe P tal que A+t,AB=C+s,CD, mostrar unicidade e verificar se P pertence aos segmentos AB e/ou CD. O conteúdo aqui é interseção de retas no espaço usando equações paramétricas.
Passo 2
Calcular os vetores diretores das retas:
AB=B-A=(9-5,;0-1,;1-2)=(4,-1,-1),
CD=D-C=(-2-4,;2-1,;6-3)=(-6,1,3)
Passo 3
Escrever a igualdade de parâmetros em coordenadas:
A+t,AB=C+s,CD Longrightarrow 5+4t = 4 -6s, 1 - t = 1 + s, 2 - t = 3 + 3s
Passo 4
Resolver o sistema. Da segunda equação vem
1 - t = 1 + s Longrightarrow s = -,t
Substituindo em 5+4t=4-6s dá
5+4t = 4 + 6t Longrightarrow 2t = 1 Longrightarrow t = tfrac12, s = -tfrac12