Considere as retas
ell=A+t A B mid t in R e r=C+t C D mid t in R
onde A=(5,1,2), B=(9,0,1), C=(4,1,3) e D=(-2,2,6). Mostre que as retas possuem apenas um ponto P em comum. Esse ponto P pertence ao segmento A B e/ou ao segmento C D ?

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em R^3:
ell:;X=A+t,AB,;tinR, r:;X=C+s,CD,;sinR,
com
A=(5,1,2),;B=(9,0,1),; C=(4,1,3),;D=(-2,2,6)
Queremos achar se existe P tal que A+t,AB=C+s,CD, mostrar unicidade e verificar se P pertence aos segmentos AB e/ou CD. O conteúdo aqui é interseção de retas no espaço usando equações paramétricas.

Passo 2

Calcular os vetores diretores das retas:
AB=B-A=(9-5,;0-1,;1-2)=(4,-1,-1),
CD=D-C=(-2-4,;2-1,;6-3)=(-6,1,3)

Passo 3

Escrever a igualdade de parâmetros em coordenadas:
A+t,AB=C+s,CD Longrightarrow 5+4t = 4 -6s, 1 - t = 1 + s, 2 - t = 3 + 3s

Passo 4

Resolver o sistema. Da segunda equação vem
1 - t = 1 + s Longrightarrow s = -,t
Substituindo em 5+4t=4-6s
5+4t = 4 + 6t Longrightarrow 2t = 1 Longrightarrow t = tfrac12, s = -tfrac12
Verificamos na terceira equação:
2 - tfrac12 = tfrac32, 3 + 3l(-tfrac12r) = 3 - tfrac32 = tfrac32,
portanto consistente e única solução (t,s)=(tfrac12,-tfrac12).

Passo 5

O ponto de interseção é
P = A + tfrac12,AB = (5,1,2) + tfrac12,(4,-1,-1) = l(7,tfrac12,tfrac32r)

Passo 6

Verificar pertencimento aos segmentos:
  • Segmento AB corresponde a tin[0,1]. Como t=tfrac12in[0,1], P pertence ao segmento AB.
  • Segmento CD corresponde a sin[0,1]. Como s=-tfrac12notin[0,1], P não pertence ao segmento CD.

Resposta

O ponto de interseção é
P = l(7,tfrac12,tfrac32r)
Ele pertence ao segmento AB mas não pertence ao segmento CD.

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