Sejam A, B e C três pontos não-colineares e um ponto P pertencente ao segmento A M tal que d(P, A)=4 d(P, M), onde M é o ponto médio do segmento B C. Encontre s, t in R de modo que
P=A+s A B+t A C
Determine o ponto P quando A=(1,0,1), B=(2,3,4) e C=(1,4,2).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar escalares s,tinR tais que
P = A + sAB + tAC,
sabendo que P está sobre o segmento AM e satisfaz
d(P,A) = 4,d(P,M),
onde M é o ponto médio de BC.
Conteúdo: geometria analítica no espaço e divisão de segmento em razão dada.

Passo 2

Calcular o ponto médio M de B e C:
M = B + C2 = (2,3,4) + (1,4,2)2 = l(tfrac32,,tfrac72,,3r)

Passo 3

Como P divide AM de forma que
AP = 4,PM,
temos AP : AM = tfrac45. Logo, em coordenadas vetoriais,
P = A + 45,AM

Passo 4

Calcular AM e depois P:
AM = M - A = l(tfrac32,tfrac72,3r) - (1,0,1) = l(tfrac12,tfrac72,2r),
P = A + 45,AM = (1,0,1) + 45l(tfrac12,tfrac72,2r) = l(1+tfrac25,,0+tfrac145,,1+tfrac85r) = l(tfrac75,,tfrac145,,tfrac135r)

Passo 5

Escrever AB e AC:
AB = B - A = (1,3,3), AC = C - A = (0,4,1)
Buscamos s,t tais que
A + s,(1,3,3) + t,(0,4,1) = l(tfrac75,,tfrac145,,tfrac135r)

Passo 6

Igualando coordenadas:
  1. x: 1 + s = tfrac75 implies s = tfrac25
  2. y: 0 + 3s + 4t = tfrac145
    substituindo s=tfrac25 6/5 +4t=14/5 implies 4t=8/5 implies t=tfrac25
  3. z: checa 1+3s+t = 1+6/5+2/5=13/5, ok.

Resposta

s = tfrac25, t = tfrac25
O ponto P é l(tfrac75,,tfrac145,,tfrac135r).

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